Линейные модели обмена
Пусть имеется система из n отраслей производства, каждая из которых выпускает продукцию одного вида. Примем за единицу объёма продукции каждой отрасли в рассматриваемом периоде. Обмен продукции происходит только внутри системы (экономика замкнута) и известна матрица А: , где а - доля продукции j-й отрасли, которая поступает в i-ю отрасль. Ясно, что для матрицы А выполнимы два условия: 1. ,дляj= ; 2. а , для i = , j= . Первое условие вызвано тем, что вся продукция j-й отрасли предназначена для обмена внутри системы. Матрица, для которой выполнимы условие 1 и 2, называется матрицей обмена. Требуется установить такие цены на продукцию каждой отрасли, при которых вся система находится в равновесии, то есть ни одна отрасль не обогащается за счет другой. Пусть хi – цена одной единицы продукции i-й отрасли, а - вектор цен. Тогда расход i-й отрасли, то есть стоимость всей закупаемой ею продукции, таков: . Чтобы отрасль могла развиваться, её расход не должен превышать дохода, который равен стоимости произведённой ею продукции, то есть хi. , i = (1) Если искомые равновесные цены существуют, то система неравенств выполняется для них как система равенств. Доказательство. Пусть числа удовлетворяют условию (1), подставим их в эти неравенства и сложим почленно все полученные неравенства ; ; , но это неравенство является равенством и все слагаемые в сумме неотрицательны, то и исходные неравенства (1) выполняются для чисел . Как равенства: . Итак, надо найти вектор такой, что Таким образом, задача свелась к следующему: 1. Является ли число =1 собственным числом матрицы обмена А. 2. Если да, то найти соответствующий ему положительный собственный вектор матрицы А. Для того, чтобы было собственным числом матрицы обмена, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство , т.е. . Элементы первой строки равны 0, т.к. в матрице обмена в силу этого определитель, содержащий нулевой ряд, равен 0. Итак, число 1 собственное число матрицы обмена, для отыскания соответствующего ему собственного вектора , следует найти полуположительное решение однородной системы. Такое решение существует и найденный полуположительный вектор , является искомым вектором равновесных цен. Задача.Экономическая система состоит из 3-х отраслей производства, каждая из которых выпускает один вид продукции. Обмен внутри системы происходит в соответствии с данной матрицей обмена . Найти вектор равновесных цен. Решение. Сначала найдём матрицу : . Составим однородную систему линейных уравнений , где . ; эта система равносильна системе уравнений находим её общее решение: . Принимая , получим . Таким образом, равновесные цены на продукцию каждой отрасли: , где к можно трактовать как множитель, связанный с денежной единицей.
Популярное: Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... ©2015-2020 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (1215)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |