Понятие определенного интеграла. Его свойства

Определенный интеграл — это аддитивный монотонный нормированный функционал, заданный на множестве пар, первая компонента которых — интегрируемая функция или функционал, а вторая — область во множестве задания этой функции.
Проще говоря, это интеграл, численно равный площади части графика функции в пределах от a до b, т. е. площади криволинейной трапеции.

Определенный интеграл обозначается символом . Его можно найти по формуле Ньютона — Лейбница:
св-ва

I. Величина определенного интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования, т.е. , где х, t – любые буквы.

II. Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю.

III. При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет свой знак на обратный.

IV. Если промежуток интегрирования [a,b] разбит на конечное число частичных промежутков, то определенный интеграл, взятый по промежутке [a,b], равен сумме определенных интегралов, взятых по всем его частичным промежуткам.

V. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла.

VI. Определенной интеграл от алгебраической суммы конечного числа непрерывных функций равен такой же алгебраической сумме определенных интегралов от этих функций.

Интеграл с переменным верхним пределом. Сформулировать теорему Барроу. Формула Ньютона-Лейбница

Интеграл с переменным верхним пределом

Пусть на отрезке [ a, b ] задана непрерывная функция f ( x ), тогда для любого x [ a, b ] существует функция:

задаваемая интегралом с переменным верхним пределом, стоящим в правой части равенства.

На интеграл с переменным верхним пределом распространяются все правила и свойства определённого интеграла.

Теорема Барроу

Если интегрируема на и непрерывна в точке то функция дифференцируема в точке x0 и

Формула

Одним из основных результатов математического анализа является теорема Ньютона – Лейбница:

Пусть функция f (x) непрерывна на [a; b], а F (x) – какая-либо первообразная функции f на этом отрезке. Тогда

Таким образом, для вычисления определенного интеграла нужно найти какую-либо первообразную F функции f, вычислить ее значения в точках a и b и найти разностьF (b) – F (a).

Способы вычисления определенного интеграла: интегрирование по частям, замена переменной, интеграл, взятый по симметричному интервалу

Способы:

-Замена переменной в определенном интеграле

Если функция x = x(u) непрерывно дифференцируема на интервале , а функция f(x) непрерывна на интервале , где m - точная нижняя, а M - точная верхняя граница функции x(u) на интервале , то

- Интегрирование по частям