Тема №21. Линейные однородные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами
Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение вида где p, q − постоянные коэффициенты. Для каждого такого дифференциального уравнения можно записать так называемое характеристическое уравнение:
Обшее решение однородного дифференциального уравнения зависит от корней характеристического уравнения, которое в данном случае будет являться квадратным уравнением. Возможны следующие случаи: 1.Дискриминант характеристического квадратного уравнения положителен: D > 0. Тогда корни характеристического уравнения k1 и k2 действительны и различны. В этом случае общее решение описывается функцией где C1 и C2 − произвольные действительные числа. 2.Дискриминант характеристического квадратного уравнения равен нулю: D = 0. Тогда корни действительны и равны. В этом случае говорят, что существует один корень k1 второго порядка. Общее решение однородного дифференциального уравнения имеет вид: 3.Дискриминант характеристического квадратного уравнения отрицателен: D < 0. Такое уравнение имеет комплексно-сопряженные корни k1 = α + βi, k1 = α − βi. Общее решение записывается в виде
Рассмотренные три случая удобно представить в виде таблицы
1.Решить дифференциальное уравнение y'' − 6y' + 5y = 0.
Запишем сначала соответствующее характеристическое уравнение: Корни данного уравнения равны k1 = 1, k2 = 5. Поскольку корни действительны и различны, общее решение будет иметь вид: где C1 и C2 − произвольные постоянные. 2.Найти общее решение дифференциального уравнения y'' − 6y' + 9y = 0.
Вычислим корни характеристического уравнения: Как видно, характеристическое уравнение имеет один корень второго порядка: k1 = 3. Поэтому общее решение дифференциального уравнения определяется формулой где C1, C2 − произвольные действительные числа. 3.Решить дифференциальное уравнение y'' − 4y' + 5y = 0.
Сначала запишем соответствующее характеристическое уравнение и определим его корни: Таким образом, характеристическое уравнение имеет пару комплексно-сопряженных корней: k1 = 2 + i,k2 = 2 − i. В этом случае общее решение выражается формулой где C1, C2 − произвольные постоянные. 4.Решить уравнение y'' + 25y = 0.
Характеристическое уравнение имеет вид: Корни этого уравнения являются чисто мнимыми: Тогда ответ записывается в следующем виде: где C1, C2 − постоянные интегрирования 5.Решить уравнение y'' + 4iy = 0.
В данном уравнении коэффициент перед y является комплексным числом. Общее решение линейного дифференциального уравнения с постоянными комплексными коэффициентами конструируется так же, как и в случае действительных коэффициентов. Сначала запишем характеристическое уравнение: Определим корни уравнения: Вычислим отдельно квадратный корень из мнимой единицы. Для этого число i удобно представить в тригонометрической форме: Корни характеристического уравнения будут равны:
Популярное: Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (528)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |