Тема №22.ДУ, допускающие понижение степени
В общем случае дифференциальное уравнение второго порядка можно записать в виде где F − заданная функция указанных аргументов. Если дифференциальное уравнение можно разрешить относительно второй производной y'', то его можно представить в следующем явном виде: В частных случаях функция f в правой части может содержать лишь одну или две переменных. Такие неполные уравнения включают в себя 5 различных типов: С помощью определенных подстановок эти уравнения можно преобразовать в уравнения первого порядка. В случае произвольных дифференциальных уравнений второго порядка, их порядок можно понизить, если эти уравнения обладают определенной симметрией. Ниже мы обсудим 2 типа таких уравнений (случаи 6 и 7):
Ф(x, y, y').. 1. Уравнение вида y''= f (x) Если дано уравнение y'' = f(x), то его порядок можно понизить введением новой функции p(x), такой, что y' = p(x). В результате мы получим дифференциальное уравнение первого порядка Решая его, находим функцию p(x). Затем решаем второе уравнение и получаем общее решение исходного уравнения.
2. Уравнение вида y''= f (y)
Здесь правая часть уравнения зависит только от переменной y. Вводим новую функцию p(y), полагая y' = p(y). Тогда можно записать: и уравнение принимает вид: Решая его, находим функцию p(y). Затем находим решение уравнения y' = p(y), то есть функцию y(x).
3. Уравнение вида y''= f (y' )
В данном случае для понижения порядка вводим функцию y' = p(x) и получаем уравнение которое является уравнением первого порядка с разделяющимися переменными p и x. Интегрируя, находим функцию p(x) и затем функцию y(x).
4. Уравнение вида y''= f (x, y' )
Используем подстановку y' = p(x), где p(x) − новая неизвестная функция, и получаем уравнение первого порядка Интегрируя, определяем функцию p(x). Далее решаем еще одно уравнение 1-го порядка и находим общее решение y(x).
5. Уравнение вида y''= f (y,y' )
Для решения такого уравнения, также как и в случае 2, вводим новую функцию p(y), полагая y' = p(y). Дифференцирование этого равенства по x приводит к уравнению В результате наше исходное уравнение записывается в виде уравнения 1-го порядка Решая его, находим функцию p(y). Затем решаем еще одно уравнение первого порядка и определяем общее решение y(x).
Данный пример относится к случаю 1. Введем функцию y' = p(x). Тогда y'' = p'. Следовательно, Интегрируя, находим функцию p(x): Учитывая, что y' = p(x), проинтегрируем еще одно уравнение 1-го порядка: Последняя формула представляет собой общее решение исходного дифференциального уравнения. 2.Решить уравнение .
Это уравнение относится к типу 2, где правая часть зависит лишь от переменной y. Введем параметр p = y'. Тогда уравнение можно записать в виде Мы получили уравнение 1-го порядка с разделяющимися переменными для функции p(y). Интегрируем его: где C1 − постоянная интегрирования. Извлекая квадратный корень из обеих частей, находим функцию p(y): Теперь вспомним, что y' = p и решим еще одно уравнение 1-го порядка: Разделим переменные и проинтегрируем: Чтобы вычислить левый интеграл, сделаем замену: Тогда левый интеграл будет равен В результате мы получаем следующее алгебраическое уравнение: в котором C1, C2 являются постоянными интегрирования. Последнее выражение представляет собой общее решение дифференциального уравнения в неявном виде.
Популярное: Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (542)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |