Построение функций-констант
Рассмотрим функцию f0. По определению f0(0,..., 0) = 1. Если f0(1,..., 1) = 1, то h(x) = f0(x,..., x) = 1, т.е. это функция, получаемая из f0 отождествлением всех переменных, является константой 1. В противном случае f0(1,. . . , 1) = 0.Поэтому f0(x,...,x) = . Тогда по лемме о несамодвойственной функции из f0 с помощью функции отрицания и тождественной функции можно получить одну из констант. Вторая константа получается из первой константы с помощью отрицания (т.е. является отрицанием первой константы). Значит, из f0 можно получить либо одну из констант, либо обе константы и отрицание. Рассмотрим функцию f1. По определению этой функции f1(1,...,1) = 0. Если f1(0, . . . , 0) = 0, то f1(x, . . . , x) = 0, т.е. это функция-константа 0. В противном случае f1(0, . . . ,0) = 1 и f1(x, . . . , x) = . Тогда из леммы о несамодвойственной функции следует, что из f1 можно получить одну из констант. Вторая константа получается из первой константы с помощью функции . Поэтому из f0 и f1 с помощью отождествления переменных всегда можно выразить обе функции-константы, а в некоторых случаях еще и функцию отрицания.
4.14.2. Построение отрицания
Рассмотрим функцию fM. По лемме о немонотонной функции через fM с помощью функций-констант и тождественной функции x можно выразить отрицание .
4.14.3.Построениеконъюнкции Рассмотрим функцию fL. По лемме о нелинейной функции из fL с помощью уже полученных функций 0, 1, и обозначений переменных можно выразить конъюнкцию x1&x2. Следовательно, через функции системы B можно выразить функции полной системы . Тогда на основании теоремы редукции можно утверждать, что B - это полная система. Доказательство окончено.
Упражнение. Используя доказательство критерия полноты, выразить функции x1&x2 и через функции полной системы .
Достоинство доказанной теоремы по сравнению с теоремой редукции состоит в том, что теперь полнота произвольной системы, булевских функций может быть установлена на основании проверки простых свойств у функции системы. При этом если система B является конечной, то такая проверка может быть проведена за конечное время.
Для проверки полноты произвольной конечной системы B можно построить таблицу со строками, соответствующими функциям системы B, и пятью столбцами, соответствующими пяти классам: Т0, Т1, S, L и M. Таблица заполняется символами "+" и "-". Некоторый элемент таблицы это "+", если функция, соответствующая строке, содержится в классе функций, соответствующем столбцу. В противном случае элемент таблицы равен "-". Если в каждом столбце полученной таблицы имеется хотя бы один минус, то B - это полная система. Если в таблице имеется столбец, содержащий только символы "+", то B - это неполная система. Например. Для системы B = {x1 ® x2, x1 + x2} таблица имеет вид:
Следовательно, множество функций {x1 ® x2, x1 + x2} - это полная система. Классы Т0, Т1, S, L и Mобъединяет одно общее свойство, которое состоит в том, что всякий из них является "почти" полным.
Популярное: Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (554)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |