Плоскость в пространстве
Общим уравнением плоскости в пространстве называется уравнение . Вектор называется нормальным вектором плоскости. Если даны две плоскости с нормальными векторами и , то косинус угла между этими плоскостями определяется по формуле (этот угол всегда острый или прямой) . Если даны три точки , и , то уравнение плоскости, проходящей через три точкинаходится по формуле: . Задание 1.По координатам вершины пирамиды найти: 1. длину ребер и ; 2. угол между ребрами и ; 3. площадь грани ; 4. объем пирамиды ; 5. уравнение прямых ; ; 6. уравнения плоскостей и ; 7. угол между плоскостями и . Пример. Выполнить задание 1, если , , , . 1) Если заданы точки , , и то координаты векторов , и их длины , равны: а) , . б) , . 2) Угол между ребрами и находим как угол между векторами и . Из определения скалярного произведения следует, что этот угол вычисляется по формуле: . Скалярное произведение находим через декартовы координаты: . Тогда . Откуда (вычисления проводим на инженерном калькуляторе) 3) ‑ площадь треугольника, построенного на векторах и . Зная их декартовы координаты, находим векторное произведение , , , . Тогда . 4) Учитывая геометрический смысл смешанного произведения векторов, получим формулу для вычисления объема пирамиды: . Найдем координаты вектора : Смешанное произведение этих векторов найдем через их декартовы координаты . Отсюда . 5) Найдем канонические уравнение прямых и . За направляющие вектора примем вектора и . За точку лежащую на этих векторах примем точку прямая : ; прямая : . 6) Уравнение плоскости, проходящей через три точки , и находится по формуле: . Составимуравнение плоскости, проходящей через три точки , , . или . Разложив определить по первой строке, получим . Итак, уравнение плоскости найдено . Коэффициенты уравнения образуют нормальный вектор . Аналогично составимуравнение плоскости, проходящей через три точки , , . или . Разложив определить по первой строке, получим . Итак, уравнение плоскости имеет вид . Коэффициенты уравнения образуют нормальный вектор . 7) Угол , образованный двумя плоскостями и находится по формуле , где и ‑ нормали плоскостей и . Подставляя их значения из пункта 6) находим величину угла (расчеты выполняем на инженерном калькуляторе) Задание №2 а) Найти решение системы с помощью правила Крамера; б) Записать систему в матричной форме и решить средствами матричного исчисления. Пример. а) Составим и вычислим главный и вспомогательные определители системы: , , , . Находим по правилу Крамера решение системы . б) Составим матрицу коэффициентов системы и столбец правых частей , и найдем обратную матрицу по формуле: , где и ‑ соответственно алгебраические дополнения и миноры, связанные между собой соотношением , а - определитель матрицы , вычисленный в пункте а). Найдем миноры: ; ; ; ; ; ; ; ; . Составим теперь обратную матрицу и найдем столбец неизвестных по формуле : . Отсюда . Задание №3. Вычислить пределы функций, не пользуясь средствами дифференциального исчисления При вычислении предела дробно-рациональной функции при числитель и знаменатель дроби — величины бесконечно большие, т.е. получаем выражение которое представляет собой неопределённость. Для вычисления предела этой функции нужно числитель и знаменатель дроби разделить на наивысшую степень . Пример 1. . Для вычисления предела этой функции нужно числитель и знаменатель разделить на : . (при слагаемые — величины бесконечно малые и, следовательно, их пределы равны нулю). В том случае, когда при вычислении предела дробно-рациональной функции при числитель и знаменатель имеют предел, равный нулю, т.е. имеем неопределенность , надо разделить их на и перейти к пределу. Если после деления окажется, что при числитель и знаменатель снова имеют пределы, равные нулю, то надо произвести повторное деление на . Пример 2. . Данный предел имеет неопределенность вида , так как числитель и знаменатель при стремятся к 0. Разложим квадратные трёхчлены в числителе и знаменателе рациональной дроби на линейные множители по формуле , где и — корни квадратного трёхчлена . Сократив рациональную дробь на , получим: . При вычислении пределов тригонометрических функций часто используется первый замечательный предел и его следствия: . Пример 3. . Преобразовав разность косинусов в произведение, получим . Если в пределе встречается неопределенность , то используется второй замечательный предел или . Пример 4. . Выполнив преобразования и применив второй замечательный предел, найдём . Пример 5. . Выполнив преобразования и применив формулу , найдём . Задание №4.Исследовать функцию на непрерывность. Найти точки разрыва функции и определить их тип. Функция называется непрерывной в точке , если предел функции в этой точке равен значению функции в этой точке, т.е. . Это равенство означает выполнение трех условий: 1) функция определена в точке х0 и ее окрестности; 2) функция имеет предел при ; 3) предел функции в точке равен значению функции в этой точке Если в точке не выполняется по крайней мере одно из условий определения непрерывности функции, то такая точка называется точкой разрыва. Все точки разрыва разделяются на точки разрыва первого и второго рода. Точка разрыва х0 называется точкой разрыва первого рода функции , если в этой точке существуют конечные пределы функции слева и справа (односторонние пределы), т.е. и . При этом: 1) если , то точка х0 называется точкой устранимого разрыва; 2) если , то х0 называется точкой конечного разрыва, а величину называют скачком функции. Точка разрыва х0 называется точкой разрыва второго рода функции , если по крайней мере один из односторонних пределов (слева или справа) не существует или равен бесконечности. Пример. Дана функция . Найти точки разрыва, определить их тип. Функция определена и непрерывна на всей числовой оси, кроме точки . Очевидно, что . Следовательно , . Поэтому в точке функция имеет разрыв первого рода. Скачок функции в этой точке равен . Задание №5.Найти производные первого порядка данных функций, используя правила дифференцирования. При выполнении данного задания необходимо знать правила дифференцирования (производная суммы, произведения и частного двух функций), а также изучить таблицу производных. Пример. 1) . . 2) . . 3) Найти . Производная функции, заданной параметрически, вычисляется по формуле: . ; . Тогда . Задание №6.Составить уравнения касательной и нормали к графику функции , проведенных в данной точке . Приведем уравнение касательной, проведенной к графику функции в точке , и уравнение нормали к этой касательной . Пример. Для функции в точке с абсциссой составить уравнение касательной и уравнение нормали. 1) Найдем значение функции . 2) Найдем значение : , . 3) Составим уравнения касательной и нормали: – искомое уравнение касательной; – искомое уравнение нормали. Задание №7.Найти предел функции с помощью правила Лопиталя. Напомним правило Лопиталя для раскрытия неопределенностей вида и : Пусть и – функции, имеющие производные в некоторой окрестности точки , за исключением, быть может, самой точки . Пусть при стремлении обе эти функции стремятся одновременно к нулю или к бесконечности. Тогда, если существует предел отношения их производных при , то существует и предел отношения самих функций при , причем оба эти пределы равны: . Замечания: 1) Правило Лопиталя остается справедливым и в том случае, если и или при или при . 2) Если опять дает неопределенность вида или , то правило Лопиталя следует применить еще раз. Примеры: 1) . 2) . 3) . Задание №8. Построить график функции , используя общую схему исследования функций. Общая схема исследования функции и построения графика. 1. Найти область определения функции. 2. Определить тип функции (четность, нечетность). 3. Найти точки пересечения с осями координат и интервалы знакопостоянства функции. 4. Найти асимптоты графика функции: а) вертикальные; б) невертикальные (наклонные). 5. Найти точки возможного экстремума и интервалы возрастания и убывания функции. 6. Найти точки перегиба и интервалы выпуклости, вогнутости функции. 7. Построить график функции, учитывая проведенные исследования. Пример. Построить график функции . 1. Областью определения функции является множество всех действительных чисел, кроме (в этом случае знаменатель равен нулю). 2. Для определения типа функции найдем значение . Следовательно, функция не является ни четной ни нечетной. 3. Так как уравнение не имеет действительных корней, то график функции не имеет точек пересечения с осью ОХ, но пересекает ось ОУ в точке . Определим интервалы знакопостоянства функции: . . 4. Найдем асимптоты графика функции. а) Исследуем поведение функции вблизи точки разрыва : , . Следовательно прямая является вертикальной асимптотой. б). Определим существование наклонной асимптоты: , . Следовательно, график функции имеет наклонную асимптоту при . 5. Для нахождения точек возможного экстремума найдем производную функции:
. Приравняем . Решая уравнение , находим корни производной и . Исследуем знак производной. Для чего решим неравенство Находим знаки на промежутках, учитывая корни и квадратного трехчлена : , ; , ; , ; ; . Следовательно, функция возрастает на промежутках и , и убывает на промежутках и . По изменению знака получаем точки локальных экстремумов: , , , . 6. Для нахождения точек перегиба и интервалов выпуклости, вогнутости найдем вторую производную функции: . Так как в нуль не обращается, то точек перегиба у функции нет. Исследуем знак второй производной, решая неравенство : при и при . Следовательно, на интервале график направлен выпуклостью вверх (выпуклый), а на интервале – выпуклостью вниз (вогнутый). По результатам исследования строим график функции .
Рис.1 Построение графика функции . Задание №9.Найти неопределенные интегралы. Пример. Найти неопределенные интегралы. а) . Применим подстановку . Тогда , откуда . Таким образом, б) . Применим формулу интегрирования по частям . Пусть , , тогда , . Тогда . К интегралу в правой части снова применяем формулу интегрирования по частям. Пусть , , , Таким образом, . в) Подынтегральная функция является правильной рациональной дробью, знаменатель которой . Подынтегральную функцию разложим на дроби , откуда . Раскроем скобки в правой части и приведем подобные: . Приравнивая соответствующие коэффициенты при в левой и правой частях последнего равенства получим систему трех уравнений: Таким образом, , . Вычислим отдельно интеграл . Используя равенства , получаем . Отсюда окончательно вычисляем интеграл . г) . Наименьшее общее кратное показателей корней равно 6, поэтому выполним подстановку , , тогда
.
Популярное: Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (286)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |