Практическое занятие 4 по теме «Дифференциальное исчисление функций многих переменных»

План:

1. Линии уровня, частные производные, градиент.

2. Дифференцируемость функции многих переменных.

3. Дифференциал функции многих переменных.

4. Плоскость и нормаль.

3. Оптимальные значения функции многих переменных.

5. Решение задач.

Контрольные вопросы и задачи

1. Дана функция z = f (x, y). Требуется: 1) найти частные производные и ;
2) найти полный дифференциал dz; 3) показать, что для данной функции справедливо равенство: .

Номер задания	Функция	Номер задания	Функция
	z = ln( + 2y3)		z = (y2 – x) arcsin(2x)
	z = tg(x – 5y2)		z = (y + 4x)2
	z = + cos(xy)		z = ln3 (2y – x)
	z = xcos(3x + 2y)		z =
	z = x y + sin(x – y)		z = 4xy5–

2. Дана сложная функция z= f (x, y, t), где . Найти .

Номер задания	Функция z= f (x, y, t)	Функции
	u = (3t + 2x2 – y)3	x = tgt, y =
	u = (4t – x)	x = , y =
	u = tsin(x3 + y)	x = + 1, y = t4
	u = tg(x + t )	x = ln(t3+ 1), y = t2
	u =	x = sin3t, y = 1 – 5t
	u= sin(x2 + y) – y	x = , y =
	u =	x = cos4t, y = sin2t
	u = xctg(t – 3y)	x = 2 – 3t2, y =
	u = ln(2t + x – y2)	x = sin2t, y =3t –
	u = xy2+ cos(y + 2t)	x = – t, y =2t – 4

3. Поверхность σ задана уравнением z = f (x, y). Составить уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности σ в точке М₀(x₀, y₀, z₀), принадлежащей ей, если x₀, y₀ – заданные числа.

Номер задания	Уравнение поверхности	Значения x0, y0
	z = 3y – x2y + x	x0 = 1, y0 = 5
	z = + 3x – y2	x0 = 1, y0 = –1
	z = + x3 – 5	x0 = 1, y0 = 4
	z = y3x – y + x2	x0 = –1, y0 = 2
	z = cosy + 2x2 – xy	x0 = 2, y0 = 0
	z = xy + y3 + 2x	x0 = 2, y0 = 1
	z = ln(2x) – xy3 + y	x0 = , y0 = 2
	z = + x2y – x4 + 1	x0 = –1, y0 = 0
	z = ysinx + 3y2	x0 = , y0 = –1
	z = 2y – + x5	x0 = 1, y0 = 3

4. Найти частные производные , и , если переменные x, y и z связаны равенством вида F(x, y, z) = 0.

Номер задания	Равенство F(x, y, z) = 0	Номер задания	Равенство F(x, y, z) = 0
	+ 3x2siny – 2xz3 = 0		sin(xy2) + z3xy2 + z4– x = 0
	x + zy + y2lnx – 2z = 0		(x – 2y)4 –5 +3cosx – z5 = 0
	ln(xz3) + y3 – 5x2yz4 + 5x = 0		cos(y + ez) + xz5y + 3x3 + 4 = 0
	+ ytgx – zx5 + 3y = 0		(z – 2x)3 + 3y4 x – y2e2z –2x = 0
	z + + y2zx – y5 = 0		sin2z +ln(x – y)+ 2x4 – 3yz2 = 0

5. Дана функция двух переменных: z = f (x, y) и уравнения границ замкнутой области D на плоскости xОy. Требуется: 1) найти наибольшее и наименьшее значения функции z в области D; 2) сделать чертёж области D в системе координат, указав на нём точки, в которых функция имеет наибольшее и наименьшее значения.

6. Дано плоское скалярное поле U = U(x,y), точка M₀(x₀, y₀) и вектор . Требуется: 1) найти уравнения линий уровня поля U; 2) найти градиент поля в точке M₀ и производную функции U(x,y) в точке M₀по направлению вектора ; 3) построить в системе координат xОy 4-5 линий уровня, в том числе линию, проходящую через точку M₀ и изобразить вектор .

Номер задания	Скалярное поле	Точка M0 (x0, y0)	Вектор
	U = x2 + 3y2	M0(1, 1)	= 3 – 4
	U = x2 – 2 y2	M0(2, 1)	= 6 + 8
	U = –3y– x2	M0(–1, –1)	= + 2
	U = y2 – 4x	M0(–2, 1)	= –2 + 2
	U = 2x2 – y2	M0(1, 1)	= – – 3
	U = 2 x2 + y2	M0(1, 2)	= 2 + 2
	U = x3 – y	M0(1, –2)	= –2 +
	U =2x + y2	M0(–2, 1)	= +
	U = (x + 1)2 + y2	M0(0, 2)	= – 2
	U = 3x2 – y2	M0(1, –1)	= –2 + 3

Литература

Основная:

1. Баврин И.И. Математика для гуманитариев: учебник для студентов учреждений высш. Проф. образования гуманитарных направлений. М.: Изд. центр «Академия», 2011. С. 143–155.

2. Высшая математика для экономистов / Под ред. Н.Ш. Кремера. М.: ЮНИТИ, 2002. С. 397–437.

3. Ильин В.А., Куркина А.В. Высшая математика: учеб. М.: Проспект, 2009. С. 366–420.

4. Колесников А.Н. Краткий курс математики для экономистов: Учебное пособие. М.: ИНФРА-М, 1997. С. 118–138.

5. Красс М.С. Математика для экономических специальностей: Учебник. М.: ИНФРА-М, 1999. С. 259–279.

Дополнительная:

1. Ганичева А.В. Краткий курс математического анализа: Учебное пособие. Тверь, 2002. С. 84–101.

2. Данчул А.Н., Митини А.И., Сафонова Т.Е., Симонов В.А. Математика: Математический анализ. Дифференциальные уравнения. Теория вероятностей. Математическая статистика. Учебно-методическое пособие / Под ред. А.Н.Данчула. М., 2004. С.28–39.

3. Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике: Учебник. М.: МГУ им. М.В.Ломоносова, Издательство «ДИС», 1998. С. 101–119.

4. Кремер Н.Ш. Математика для экономистов: от Арифметики до Эконометрики: учеб.-справоч. Пособие. М.: Издательство Юрайт; ИД Юрайт, 2011. С.183–195.

5. Сборник задач по высшей математике для экономистов: Учебное пособие/ Под ред. В.И. Ермакова. М.: ИНФРА-М, 2004. С. 179–201.