Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
Определение: Уравнение вида называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка.
Уравнения такого вида сводятся к двум уравнениям с разделяющимися переменными с помощью подстановки , где , - некоторые функции, зависящие от x.
Алгоритм решения: 1) Вводится подстановка , тогда . 2) Исходное уравнение принимает вид: . 3) Группируются слагаемые при u. . 4) Выражение в скобках приравнивается к нулю: . Это уравнение с разделяющимися переменными, решая его, находим . 5) Полученное значение v подставляется в выражение: . Решив уравнение с разделяющимися переменными, получим функцию . 6) Общее решение уравнения запишется в виде: . Пример 1 Найти общее решение уравнения .
Решение: Обозначим , тогда . Уравнение примет вид . Вынесем во втором и третьем слагаемом общий множитель за скобки, получим . Выражение в скобках приравняем к нулю v′ - vtgx = 0 Перепишем в виде Умножая обе части уравнения на , получим , интегрируем находим , применим замену получим , откуда или , . Пропотенцируем обе части равенства v = . Найденную функцию подставим в выражение и решим полученное уравнение du = sinx∙cos∙xdx или Интегрируем , Получим . Зная функции u и v , можно записать ответ. Ответ: Общее решение уравнения у = .
Пример 2 Найти частное решение дифференциального уравнения , если при .
Решение: Пусть , тогда . Отсюда, . Вынесем u за скобки: . Приравняв скобку к 0 , получим: . Отсюда, , . Интегрируем , , , . Подставив в выражение , получим уравнение относительно функции u и решим его. , , , . Проинтегрируем . Функция . Запишем общее решение уравнения: . Частное решение найдем из условия при . , , . Частное решение заданного уравнения имеет вид: . Ответ: - частное решение уравнения.
Уравнение Бернулли. Определение. Дифференциальное уравнение вида , где , называется уравнением Бернулли. Предполагая, что , разделим обе части уравнения Бернулли на . В результате получим: (1) Введем новую функцию . Тогда . Домножим уравнение (1) на и перейдем в нем к функции z(x): , т.е. для функции z(x) получили линейное неоднородное уравнение 1-го порядка. Подставим в его общее решение вместо z(x) выражение , получим общий интеграл уравнения Бернулли, который легко разрешается относительно y. При добавляется решение y(x)=0. Уравнение Бернулли можно также решать, не делая перехода к линейному уравнению путем подстановки , а применяя метод Бернулли. Рассмотрим применение этого способа для решения уравнения Бернулли на конкретном примере. Пример. Найти общее решение уравнения: (2) Решение. Уравнение (2) является уравнением Бернулли, причем . Будем искать решение уравнения в виде . Тогда . В левой части последнего уравнения сгруппируем второе и третье слагаемые, которые содержат функцию u(x), и потребуем, чтобы . Откуда . Тогда для функции u(x) будем иметь следующее уравнение: или , которое является уравнением с разделяющимися переменными для функции u(x). Решим его , , Следовательно, общее решение данного уравнения имеет вид: , y(x)=0.
ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ
Задание № 7. Найти указанные пределы .
1. а) ; б) ; в) ; г) 2. a) ; б) ; в) ; г) ; 3. a) ; б) ; в) ; г) ; 4. a) ; б) ; в) ; г) ; 5. a) ; б) ; в) ; г) ; 6. a) ; б) ; в) ; г) . 7. a) ; б) ; в) ; г) ; 8. a) ; б) ; в) ; г) . 9. a) ; б) ; в) ; г) ; 10. a) ; б) ; в) ; г) . 11. a) ; б) ; в) ; г) . 12. a) ; б) ; в) ; г) . 13. a) ; б) ; в) ; г) . 14. a) ; б) ; в) ; г) . 15. a) ; б) ; в) ; г) . 16. a) ; б) ; в) ; г) . 17. a) ; б) ; в) ; г) . 18. a) ; б) ; в) ; г) . 19. a) ; б) ; в) ; г) . 20. a) ; б) ; в) ; г) . Задание № 8. Найти производные функций:
1. а) ; б) ; в) . 2. a) ; б) ; в) . 3. a) ; б) ; в) . 4. a) ; б) ; в) . 5. a) ; б) ; в) . 6. a) ; б) ; в) . 7. a) ; б) ; в) . 8. a) ; б) ; в) . 9. a) ; б) ; в) . 10. a) ; б) ; в) . 11. a) ; б) ; в) . 12. a) ; б) ; в) . 13. a) ; б) ; в) . 14. a) ; б) в) . 15. a) ; б) ; в) . 16. a) ; б) ; в) . 17. a) ; б) ; в) . 18. a) ; б) ; в) . 19. a) ; б) ; в) . 20. a) ; б) ; в) .
Задание № 9.Исследовать данные функции методами дифференциального исчисления и построить их графики.
1. . 2. . 3. . 4. . 5. . 6. . 7. . 8. . 9. . 10. . 11. . 12. . 13. . 14. . 15. . 16. . 17. . 18. . 19. . 20. .
Задание № 10. Найти указанные неопределенные интегралы и результаты интегрирования проверить дифференцированием. 1. a) ; б) ; в) . 2. a) ; б) ; в) . 3. a) ; б) ; в) . 4. a) ; б) ; в) . 5. a) ; б) ; в) . 6. a) ; б) ; в) . 7. a) ; б) ; в) . 8. a) ; б) ; в) . 9. a) ; б) ; в) . 10. a) ; б) ; в) . 11. a) ; б) ; в) . 12. a) ; б) ; в) . 13. a) ; б) ; в) . 14. a) ; б) ; в) . 15. a) ; б) ; в) . 16 a) ; б) ; в) . 17. a) ; б) ; в) . 18. a) ; б) ; в) . 19. a) ; б) ; в) . 10. a) ; б) ; в) .
Задание № 11.Найти общее решение дифференциальных уравнений первого порядка.
1. . 2. . 3. . 4. . 5. . 6. . 7. . 8. . 9. . 10 . 11. . 12. . 13. . 14. . 15. . 16. . 17. . 18. . 19. . 20. .
Литература
1. Богомолов Н.В. Математика: учебник для ссузов / Н.В. Богомолов, П.И. Самойленко. – 7-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2010г. 2. Бугров Я. С., Никольский С. М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. – М.: Наука, 1988. 3. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах : учеб. пособие для вузов: в 2 ч. / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. — М. : Изд. дом «ОНИКС 21 век» : Мир и Образование, 2003. 4. Ефимов Н. В. Краткий курс аналитической геометрии. – М.: Наука, 1965. 5. Кадомцев С.Б. Аналитическая геометрия и линейная алгебра. — М. : физ.-мат. лит., 2001. 6. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. - М.: Наука, 1989. 7. Лисичкин В.Т, Соловейчик И. Л. Математика: Учеб. Пособие для техникумов. -М.: Высш.шк; 1991г. 8. Лунгу К.Н., Письменный Д.Т., Федин С.Н., Шевченко Ю.А. Сборник задач по высшей математике. 1 курс. – 2-е изд. – М.: Айрис-пресс, 2003. 9. Мальцев А. И. Основы линейной алгебры. – М.: Наука, 1975. 10. Минорский В. П. Сборник задач по высшей математике. – М.: Наука, 1971. 11. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. В 2 т. - М.: Наука, 1970 [и последующие издания]. 12. В.А. Подольский, А.М. Суходский, Е.М. Мироненко. Сборник задач по математике.- М. 1999. 13. Проскуряков И. В. Сборник задач по линейной алгебре. – М.: Юнимедиастайл, 2002. 14. В.И. Смирнов. Курс высшей математики. 1,2 том. М. 1996. 15. Фаддеев Д. К., Соминский И. С. Задачи по высшей алгебре. – С.-П.: изд-во «Лань», 1999. 16. Г.М. Фихтенгольц. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М. 1977. 17. Шипачев В.С. Высшая математика. М.: Высш. шк., 2005.
Популярное: Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... ©2015-2020 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (900)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |