Мегаобучалка Главная | О нас | Обратная связь


Линейные дифференциальные уравнения первого порядка



2015-12-13 900 Обсуждений (0)
Линейные дифференциальные уравнения первого порядка 0.00 из 5.00 0 оценок




Определение: Уравнение вида называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка.

 

Уравнения такого вида сводятся к двум уравнениям с разделяющимися переменными с помощью подстановки , где , - некоторые функции, зависящие от x.

 

Алгоритм решения:

1) Вводится подстановка , тогда .

2) Исходное уравнение принимает вид:

.

3) Группируются слагаемые при u.

.

4) Выражение в скобках приравнивается к нулю:

.

Это уравнение с разделяющимися переменными, решая его, находим .

5) Полученное значение v подставляется в выражение:

.

Решив уравнение с разделяющимися переменными, получим функцию .

6) Общее решение уравнения запишется в виде:

.

Пример 1 Найти общее решение уравнения

.

 

Решение: Обозначим , тогда .

Уравнение примет вид .

Вынесем во втором и третьем слагаемом общий множитель за скобки, получим .

Выражение в скобках приравняем к нулю v′ - vtgx = 0

Перепишем в виде

Умножая обе части уравнения на , получим ,

интегрируем

находим , применим замену

получим ,

откуда или , .

Пропотенцируем обе части равенства v = .

Найденную функцию подставим в выражение и решим полученное уравнение

du = sinx∙cos∙xdx или

Интегрируем ,

Получим .

Зная функции u и v , можно записать ответ.

Ответ: Общее решение уравнения у = .

 

Пример 2 Найти частное решение дифференциального уравнения , если при .

 

Решение: Пусть , тогда .

Отсюда, .

Вынесем u за скобки: .

Приравняв скобку к 0 , получим: .

Отсюда, , .

Интегрируем ,

, , .

Подставив в выражение , получим уравнение относительно функции u и решим его.

, , , .

Проинтегрируем . Функция .

Запишем общее решение уравнения: .

Частное решение найдем из условия при .

, , .

Частное решение заданного уравнения имеет вид: .

Ответ: - частное решение уравнения.

 

Уравнение Бернулли.

Определение.

Дифференциальное уравнение вида , где , называется уравнением Бернулли.

Предполагая, что , разделим обе части уравнения Бернулли на .

В результате получим: (1)

Введем новую функцию . Тогда . Домножим уравнение (1) на и перейдем в нем к функции z(x): , т.е. для функции z(x) получили линейное неоднородное уравнение 1-го порядка. Подставим в его общее решение вместо z(x) выражение , получим общий интеграл уравнения Бернулли, который легко разрешается относительно y. При добавляется решение y(x)=0. Уравнение Бернулли можно также решать, не делая перехода к линейному уравнению путем подстановки , а применяя метод Бернулли.

Рассмотрим применение этого способа для решения уравнения Бернулли на конкретном примере.

Пример. Найти общее решение уравнения: (2)

Решение.

Уравнение (2) является уравнением Бернулли, причем .

Будем искать решение уравнения в виде .

Тогда .

В левой части последнего уравнения сгруппируем второе и третье слагаемые, которые содержат функцию u(x), и потребуем, чтобы . Откуда . Тогда для функции u(x) будем иметь следующее уравнение:

или ,

которое является уравнением с разделяющимися переменными для функции u(x). Решим его ,

,

Следовательно, общее решение данного уравнения имеет вид: , y(x)=0.

 

ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

 

 

Задание № 7. Найти указанные пределы .

 

1. а) ; б) ;

в) ; г)

2. a) ; б) ;

в) ; г) ;

3. a) ; б) ;

в) ; г) ;

4. a) ; б) ;

в) ; г) ;

5. a) ; б) ;

в) ; г) ;

6. a) ; б) ;

в) ; г) .

7. a) ; б) ;

в) ; г) ;

8. a) ; б) ;

в) ; г) .

9. a) ; б) ;

в) ; г) ;

10. a) ; б) ;

в) ; г) .

11. a) ; б) ;

в) ; г) .

12. a) ; б) ;

в) ; г) .

13. a) ; б) ;

в) ; г) .

14. a) ; б) ;

в) ; г) .

15. a) ; б) ;

в) ; г) .

16. a) ; б) ;

в) ; г) .

17. a) ; б) ;

в) ; г) .

18. a) ; б) ;

в) ; г) .

19. a) ; б) ;

в) ; г) .

20. a) ; б) ;

в) ; г) .

Задание № 8. Найти производные функций:

 

1. а) ; б) ;

в) .

2. a) ; б) ;

в) .

3. a) ; б) ;

в) .

4. a) ; б) ;

в) .

5. a) ; б) ;

в) .

6. a) ; б) ;

в) .

7. a) ; б) ;

в) .

8. a) ; б) ;

в) .

9. a) ; б) ;

в) .

10. a) ; б) ;

в) .

11. a) ; б) ;

в) .

12. a) ; б) ;

в) .

13. a) ; б) ;

в) .

14. a) ; б)

в) .

15. a) ; б) ;

в) .

16. a) ; б) ;

в) .

17. a) ; б) ;

в) .

18. a) ; б) ;

в) .

19. a) ; б) ;

в) .

20. a) ; б) ;

в) .

 

Задание № 9.Исследовать данные функции методами дифференциального исчисления и построить их графики.

 

1. . 2. . 3. .

4. . 5. . 6. .

7. . 8. . 9. .

10. . 11. . 12. .

13. . 14. . 15. .

16. . 17. . 18. .

19. . 20. .

 

Задание № 10. Найти указанные неопределенные интегралы и результаты интегрирования проверить дифференцированием.

1. a) ; б) ;

в) .

2. a) ; б) ;

в) .

3. a) ; б) ;

в) .

4. a) ; б) ;

в) .

5. a) ; б) ;

в) .

6. a) ; б) ;

в) .

7. a) ; б) ;

в) .

8. a) ; б) ;

в) .

9. a) ; б) ;

в) .

10. a) ; б) ;

в) .

11. a) ; б) ;

в) .

12. a) ; б) ;

в) .

13. a) ; б) ;

в) .

14. a) ; б) ;

в) .

15. a) ; б) ;

в) .

16 a) ; б) ;

в) .

17. a) ; б) ;

в) .

18. a) ; б) ;

в) .

19. a) ; б) ;

в) .

10. a) ; б) ;

в) .

 

 

Задание № 11.Найти общее решение дифференциальных уравнений первого порядка.

 

1. . 2. .

3. . 4. .

5. . 6. .

7. . 8. .

9. . 10 .

11. . 12. .

13. . 14. .

15. . 16. .

17. . 18. .

19. . 20. .

 

Литература

 

1. Богомолов Н.В. Математика: учебник для ссузов / Н.В. Богомолов, П.И. Самойленко. – 7-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2010г.

2. Бугров Я. С., Никольский С. М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. – М.: Наука, 1988.

3. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах : учеб. пособие для вузов: в 2 ч. / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. — М. : Изд. дом «ОНИКС 21 век» : Мир и Образование, 2003.

4. Ефимов Н. В. Краткий курс аналитической геометрии. – М.: Наука, 1965.

5. Кадомцев С.Б. Аналитическая геометрия и линейная алгебра. — М. : физ.-мат. лит., 2001.

6. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. - М.: Наука, 1989.

7. Лисичкин В.Т, Соловейчик И. Л. Математика: Учеб. Пособие для техникумов. -М.: Высш.шк; 1991г.

8. Лунгу К.Н., Письменный Д.Т., Федин С.Н., Шевченко Ю.А. Сборник задач по высшей математике. 1 курс. – 2-е изд. – М.: Айрис-пресс, 2003.

9. Мальцев А. И. Основы линейной алгебры. – М.: Наука, 1975.

10. Минорский В. П. Сборник задач по высшей математике. – М.: Наука, 1971.

11. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. В 2 т. - М.: Наука, 1970 [и последующие издания].

12. В.А. Подольский, А.М. Суходский, Е.М. Мироненко. Сборник задач по математике.- М. 1999.

13. Проскуряков И. В. Сборник задач по линейной алгебре. – М.: Юнимедиастайл, 2002.

14. В.И. Смирнов. Курс высшей математики. 1,2 том. М. 1996.

15. Фаддеев Д. К., Соминский И. С. Задачи по высшей алгебре. – С.-П.: изд-во «Лань», 1999.

16. Г.М. Фихтенгольц. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М. 1977.

17. Шипачев В.С. Высшая математика. М.: Высш. шк., 2005.

 

 



2015-12-13 900 Обсуждений (0)
Линейные дифференциальные уравнения первого порядка 0.00 из 5.00 0 оценок









Обсуждение в статье: Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Обсуждений еще не было, будьте первым... ↓↓↓

Отправить сообщение

Популярное:
Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней...
Как построить свою речь (словесное оформление): При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою...



©2015-2020 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (900)

Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку...

Система поиска информации

Мобильная версия сайта

Удобная навигация

Нет шокирующей рекламы



(0.007 сек.)