Установлен факт нарушения. Найти вероятность того, что среди выбранных банков оказалось 2 банка, допускающих нарушения

Решение:

Вероятность того, что в одном из трех банков будут нарушения:

Вероятность того, что в двух из трех банков будут нарушения:

Вероятность того, что в трех из трех банков будут нарушения:

Вероятность того, что ни одном из трех банков не будут нарушения:

Тогда вероятность того, что в ходе проверки будет установлен факт наличия банков, допускающих нарушения, будет вычислена по формуле полной вероятности:

Вероятность того, что среди выбранных банков оказалось 2 банка, допускающих нарушения, будет вычислена по формуле Байеса:

 

Формулы Бернулли. Теорема Пуассона. Формулы Лапласа

Монета бросается 6 раз. Найти вероятность того, что герб выпадет не более, чем 2 раза.

Решение:

Искомая вероятность равна сумме трех вероятностей

Каждая из пяти упаковок тетрадей содержит две тетради в линейку и три в клетку. Из каждой упаковки случайным образом отбираются по две тетради. Найти вероятность того, что не менее чем в трех из отобранных пяти пар тетрадей обе тетради будут в клетку.

Решение:

Вероятность взять 2 тетради в клетку из пачки

Не менее трех пар из пяти отобранных должны быть – 3 пары, 4 пары, 5 пар.

Вычислим . Здесь применена теорема сложения вероятностей несовместимых событий.

Ответ:0,1631

Стрелок поражает цель с вероятностью 0,7. С какой вероятностью в серии из 5 выстрелов он поразит мишень:

а) ровно два раза;

б) хотя бы один раз;

в) не менее четырех раз.

г) найти наивероятнейшее число попаданий.

Пусть стрелок делает 20 выстрелов с той же вероятностью попадания. Какова вероятность того, что стрелок поразит цель только в половине случаев? С какой вероятностью число попаданий будет не менее 12 и не более 18?

Решение:

По условию задачи:

Вероятность промаха

а) Вероятность попадания ровно два раза в серии из пяти выстрелов находим по формуле Бернулли, так как число испытаний n = 5 невелико

б) Событию D – «стрелок поразит мишень хотя бы 1 раз», – противоположно событие – «не поразит ни разу», то есть стрелок промахнется все пять раз, следовательно, число попаданий :

в) Событие «стрелок поразит мишень не менее четырех раз» запишем в виде: , тогда

Используя формулу Бернулли, найдем:

г) Наивероятнейшее число попаданий находим как целое число из промежутка:

Соответствующую ему вероятность вычислим по формуле Бернулли. В данной задаче она уже была найдена выше:

Во второй части этой задаче число испытаний достаточно велико, поэтому используем приближенные формулы Лапласа.

Число попаданий равно половине из 20, то есть

Соответствующую вероятность находим по локальной формуле Лапласа:

Результат вычислений для округляем с точностью до 0,01, так как значения функции табулируются в приложении 1 с такой точностью. По таблице приложения 1, учитывая четность функции , находим:

Вероятность того, что число попаданий будет не менее 12 и не более 18, вычисляем по интегральной формуле Лапласа:

Значения для и округляем до 0,01, так как таблица значений функции Лапласа Ф(x) предусматривает такую точность для x. По таблице приложения 2, учитывая нечетность функции Ф(x), находим:

 

Известно, что процент брака для некоторой детали равен 0,5%. Контролер проверяет 1000 деталей. Какова вероятность обнаружить ровно 3 бракованных детали? Какова вероятность обнаружить не меньше 3-х бракованных деталей?

Решение:

Имеем 1000 испытаний Бернулли с вероятностью «успеха» Применяя пуассоновское приближение с , получаем

 

По цели производится 5 выстрелов. Вероятность попадания для каждого выстрела равна 0,4. Найти вероятности числа попаданий и построить многоугольник распределения.

Решение:

Вероятности всевозможных попаданий из пяти возможных найдем по формуле Бернулли:

Контроль:

Представим графически зависимость числа попаданий от их вероятностей.

Найти функцию распределения и построить ее график

1. Если то т.к. случайная величина не принимает значений меньших 0, т.е.

2. Если то

3. Если то

4. Если то

5. Если то

6. Если то

7. Если то

График функции распределения д.с.в. имеет ступенчатый вид.

Найти мат.ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение д.с.в.

	0,3	0,5	0,2

Решение:

 

Приложение 2