Мегаобучалка Главная | О нас | Обратная связь


Схема исследования функции на монотонность



2015-12-15 9271 Обсуждений (0)
Схема исследования функции на монотонность 0.00 из 5.00 0 оценок




1. Найти О.О.Ф.

2. Найти в О.О.Ф.

3. Найти критические точки в О.О.Ф.:

4. а).в которых выполняется равенство ;

5. б) в которых не существует.

6. Изобразить на числовой оси О.О.Ф. и все ее критические точки.

7. Определить интервалы знакопостоянства производной в каждом из промежутков на которые критические точки разбивают О.О.Ф.

8. На основании достаточных условий монотонности сделать заключение о характере монотонности в каждом из указанных в п.5 промежутков.

Пример 13. Исследовать на монотонность функцию .

Решение.

1). Данная функция определена на всей числовой прямой (х Î R).

2). Найдем производную:

.

3). а) из уравнения 2х - 4 = 0 находим х = 2;

б) существует при всех х. Значит, х = 2 – единственная критическая точка.

4). Критическая точка х = 2 разбивает числовую ось на два промежутка (-¥; 2) и

(2; +¥).

5). Определим интервалы знакопостоянства производной :

на промежутке (-¥; 2), так как ;

на промежутке (2; +¥), так как .

Ответ: убывает на (-¥; 2),

возрастает на (2; +¥).

Пример 14. Найти промежутки монотонности функции .

Решение. О.О.Ф. – вся числовая прямая за исключением точки х = 0.

Находим .

Точки х = 0 (в ней производная не существует) не принадлежит О.О.Ф. Поэтому на числовой оси отмечаем ее «пустой» точкой. Очевидно, что при всех х ¹ 0 и ), то есть данная функция убывает в промежутках (-¥; 0) и (0; +¥).

Ответ: убывает в промежутках (-¥; 0) и (0; +¥).

Пример 17. Найти промежутки возрастания (убывания) функции .

Решение. Найдем О.О.Ф. Для этого необходимо решить неравенство: или . Уравнение имеет корни х1 = 0 и х2 = 1. Неравенство справедливо прямоугольник всех значениях х в промежутке [0; 1]. Следовательно, функция определена в промежутке [0; 1].

Найдем производную функции :

.

Критические точки: х1 = 1/2, х2 = 0, х3 = 1 (В точке х = 1/2 выполняется равенство , а в точках х = 0 и х = 1 не существует) – принадлежат области определения функции и разбивает ее на два промежутка: и .

В промежутке (0; 1) выражение в знаменателе производной , поэтому знак производной определяется знаком числителя 1 - 2х:

на и на .

Следовательно, функция возрастает на промежутке и убывает на промежутке .

На промежутках (-¥; 0) и (1; +¥) функция не определена.

Ответ: возрастает на промежутке ;

убывает на промежутке .

 

Исследование функции на экстремум.

Справочный материал.

1. Точка x=x0 из области определения функции f(x) называется точкой минимума (максимума) этой функции, если у этой точки существует окрестность такая, что для всех x¹x0 из этой окрестности выполняется неравенство .

2. Точки максимума и минимума функции объединяются общим термином – точки экстремума.

3. Значения функции в точке экстремума называются соответственно максимумом и минимумом функции (или экстремумами самой функции).

4. Функция y=f(x), график которой расположен на рис.1, в точках x1 и x3 имеет минимумы , а в точках x2 и x4 – максимумы . Точки a и b не считаются точками экстремума функции f(x), т.к. у этих точек нет окрестности, целиком входящей в область определения функции.

5. Исследование функции на экстремум основано на следующих двух утверждениях:

а). Необходимое условие экстремума. Если точка x0 является точкой экстремума функции y=f(x), то производная в этой точке равна нулю: .

б). Достаточные условие экстремума.

Если в окрестности точки x0 производная меняет знак с плюса на минус, то x0 есть точка максимума.

Если в окрестности точки x0 производная меняет знак с минуса на плюс, то x0 есть точка минимума.



2015-12-15 9271 Обсуждений (0)
Схема исследования функции на монотонность 0.00 из 5.00 0 оценок









Обсуждение в статье: Схема исследования функции на монотонность

Обсуждений еще не было, будьте первым... ↓↓↓

Отправить сообщение

Популярное:
Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние...
Как построить свою речь (словесное оформление): При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою...
Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе...



©2015-2020 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (9271)

Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку...

Система поиска информации

Мобильная версия сайта

Удобная навигация

Нет шокирующей рекламы



(0.009 сек.)