Схема исследования функции на экстремум
1. Найти О.О.Ф. 2. Найти в О.О.Ф. 3. Найти критические точки в О.О.Ф.: 4. а).в которых выполняется равенство ; 5. б) в которых не существует. 6. Изобразить на числовой оси О.О.Ф. и все ее критические точки. 7. Определить интервалы знакопостоянства производной в каждом из промежутков на которые критические точки разбивают О.О.Ф. 8. На основании достаточных условий экстремума сделать заключение о экстремуме функции в каждой из указанных в п.3 критических точках. Пример 16. Исследовать на экстремум функцию . Решение. 1). Функция определена при всех x ÎR. 2). . 3). Из уравнения находим х = -1; существует при всех х. Таким образом, 4). Точка х = -1 разбивает числовую ось на два промежутка (-¥; -1) и (-1; +¥). 5). Интервалы знакопостоянства производной : на (-¥; -1), так как ; на (-1; +¥), так как . 6). При переходе через точку х = -1 слева направо производная меняет знак с «+» на «-», значит х = -1 – точка максимума (хтах = -1) В точке х = -1 имеем ymax = y(xmax) = y(-1) = 8+2-1=9. Ответ: хтах = -1; утах = 9. Пример 17. Найти точки экстремума функции . Решение. Производная этой функции определена во всех точках числовой оси и обращается в нуль в точке х = 3. В этой точке производная меняет знак с «+» на «-». Пользуясь признаком максимума, получаем, что точка х = 3 является точкой максимума. Ответ:. хтах = 3. Пример 18. Найти экстремум функции . Решение. О.О.Ф.: x Î R. при х1 = 2, х2 = 3. Ответ: Пример 19. Исследовать на экстремум функцию . Решение. О.О.Ф. найдем из решения системы: . Найдем производную: . в точке х =1. не существует в точках х = 0 и х = 2. Точки х = 0, х = 1, х = 2 не принадлежат О.О.Ф., следовательно, точек экстремума у этой функции нет. Ответ: экстремум не существует. Пример 20. Исследовать на экстремум функции . Решение. 1). О.О.Ф.: х ¹ 1. 2). 3). а) при х = 3 или при х = -1. б) не существует при х = 1, но эта точка не принадлежит О.О.Ф. 4). Отметим на координатной прямой критические точки х = -1, х = 3, х = 1. 5). Знаки производной отметим на полученных промежутках. 6). х = -1 – точка максимума, утах = -8 х = 3 – точка минимума, уmin = 0. Ответ: xmax = -1, ymax =-8; xmin = 3, ymin = 0. Наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции на отрезке. Справочный материал. 1.Наибольшим (наименьшим) значением функции y=f(x) на промежутке X называется такое число M(m), что существует такая точка x0, принадлежащая этому промежутку, что для всех x из этого промежутка. 2.Наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке X дифференцируемая функция f(x) может принимать либо на концах промежутка (если это числа), либо в критических точках, лежащих внутри промежутка. 3.На рис.1 функция y=f(x) достигает наибольшее значение на отрезке [a;b] в точке x=a и наименьшее значение в точке x=b: На интервале (a;b) в этом случае функция не достигает ни наименьшего ни наибольшего значений. 4.Если дифференцируемая функция f(x) на промежутке X имеет единственную точку экстремума и в этот экстремум – максимум (минимум), то в этой точке достигается наибольшее (наименьшее) значение функции. 5.На рис.1 функция y=f(x) на отрезке [x1;x3] в точке x=x2 имеет единственный максимум: Функция y=f(x) на отрезке [x2;x4] в точке x=x3 имеет единственный минимум:
Популярное: Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (1265)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |