Лекция 1. Метод проекций. Эпюр Монжа

Виды проецирования.

Начертательная геометрия представляет собой раздел геометрии, в котором геометрические свойства предметов материального мира изучаются при помощи их изображений на плоскости.

В основу построения любого изображения положена операция проецирования, которая заключается в следующем. В пространстве выбирают произвольную точку S в качестве центра проецирования (рис. 1) и плоскость П₁, не проходящую через точку S, в качестве плоскости проекций. Чтобы спроецировать точку А пространства на плоскость П₁, через центр проецирования S проводят луч SA до его пересечения с плоскостью П₁ в точке А₁. Точку А₁ принято называть центральной проекцией точки А, а луч SA — проецирующим лучом.

Широкое применение в практике получил тот случай, когда центр проецирования удален в бесконечность. Проецирующие лучи при этом параллельны между собой и проекции точек, фигур и тел получают название параллельных проекций (рис. 2). Проекцией точки А называют точку А₁ пересечения проецирующего луча АА₁ с плоскостью проекций.

В свою очередь, параллельные проекции подразделяются на косоугольные и прямоугольные. В первом случае плоскость проекций с направлением проецирования образует угол, не равный 90°, во втором — этот угол равен прямому.

Рис.1 Рис.2

Проекция прямой линии представляет собой совокупность проекций точек этой линии. Такое геометрическое толкование процесса образования изображений соответствует явлениям, имеющим место в природе.

Изображения, получающиеся на сетчатке глаза или на пластинке фотоаппарата, являются центральными проекциями с полюсами в оптическом центре глаза или объектива. Тени, падающие от предметов, освещенных солнцем, представляют параллельные проекции этих предметов, так как центр проекций – солнце, практически можно считать бесконечно удаленной точкой. Очевидно, что изображения, выполненные по способу центрального проецирования, обладают большей наглядностью, чем параллельные проекции, потому что в основе процесса зрения лежит центральное проецирование.

Центральные проекции используются там, где от изображения в первую очередь, требуется наглядность. Параллельные проекции более удобны, когда необходимо получить изображение с возможно меньшими метрическими искажениями. При параллельном проецировании удается, например, получить проекцию отрезка прямой линии или плоской фигуры в натуральную величину и поэтому они находят наибольшее применение в технике и инженерном деле.

1.2. Свойства (инварианты) центральных проекций:

1. Проекция точки – есть точка;

2. Проекция прямой – прямая, кроме прямых, совпадающих с направлением проецирования;

3. Инцидентность (принадлежность) точки прямой – проекция точки, лежащей на прямой, будет лежать на проекции этой прямой КÎАВ; К₁ÎА₁В₁ (рис. 1).

1.3. Свойства (инварианты) параллельных проекций:

Рассмотренные выше 1, 2, 3 свойства центральных проекций присущи и параллельным проекциям, однако есть некоторые свойства только параллельных проекций:

4. Проекции параллельных прямых параллельны:
АВ || СD Þ А₁В₁ || С₁D₁ (рис.2)

5. Проекции отрезков параллельных прямых пропорциональны самим отрезкам, т.е.

6. Если отрезок параллелен плоскости проекций, то длина проекции равна длине самого отрезка.

Чертеж, полученный в результате центрального или параллельного проецирования, называется проекционным чертежом.

Он должен быть:

1. Выразительным, точным, удобоизмеримым;

2. «Обратимым» (построенные на рис. 1, 2 проекции точек и прямых не обладают свойствами обратимости). По ним (только по одним этим проекциям) нельзя установить, где в пространстве расположен сам объект. Например, проекции А₁ будет соответствовать в пространстве множество точек, расположенных на проецирующем луче АА₁. Чтобы сделать изображения однозначными, вполне определяющими положения каждой точки в пространстве, пользуются ортогональными проекциями на две или три плоскости проекций.