Вычисление определенного интеграла методом замены переменной

При вычислении определенного интеграла методом замены переменной (способом подстановки) определенный интеграл преобразуется с помощью подстановки или в определенный интеграл относительно новой переменной t. При этом старые пределы интегрирования a и b заменяются соответственно новыми пределами t₁ и t₂, которые находятся из исходной подстановки.

Из первой подстановки новые пределы интегрирования вычисляются непосредственно: .

Из второй подстановки новые пределы интегрирования находятся путем решения уравнений .

Таким образом, имеем

Пример 1: Вычислить определенный интеграл методом замены переменной

Решение: =

.

Пример 2: Вычислить определенный интеграл: .

Решение:

.

Вопросы для самопроверки по теме 3 Интегральное исчисление:

1. В чем заключается смысл действия, обратного дифференцированию?
2. Дать определение первообразной функции
3. Чем отличаются друг от друга любые две первообразные данной функции ?
4. Как проверить, правильно ли найдена первообразная данной функции ?
5. Дать определение неопределенного интеграла.
6. Перечислить свойства неопределенного интеграла
7. Дать определение определенного интеграла.
8. Перечислить свойства определенного интеграла.
9. Запишите формулу Ньютона-Лейбница для вычисления определенного интеграла.
10. В чем отличия методов замены переменной в определенном и неопределенном интегралах?

 

Варианты контрольных заданий

Вариант 1.

Задача 1. Найти производные следующих функций:

а) . Вычислить

б)

в)

г)

Задача 2. В какой момент времени скорость тела, движущегося по закону равна нулю.

Задача 3. Найдите промежутки монотонности следующих функций

 

Задача 4. Исследуйте на экстремум следующие функции

Задача 5. Найти следующие интегралы:

а)

б)

в)

г)

Задача 6. Фигура, ограниченная прямыми и осью Оx, вращается вокруг оси абсцисс. Найти объем полученного тела вращения.

Вариант 2

Задача 1. Найти производные следующих функций:

а) .

б) . Вычислить

в)

г)

Задача 2. Построить график скорости движения тела, заданного уравнениями:

Задача 3. Найдите промежутки монотонности следующих функций

Задача 4. Исследуйте на экстремум следующие функции

Задача 5. Найти следующие интегралы:

а)

б)

в)

г)

Задача 6. Найти объем тела, полученного вращением части кривой отсекаемой осью Оx от ее вершины, вокруг оси абсцисс.

 

Вариант 3

Задача 1. Найти производные следующих функций:

а) .

б)

в) . Вычислить

г)

Задача 2. В какой момент времени скорость тела, движущегося по закону окажетсяравной 27 ед.

Задача 3. Найдите промежутки монотонности следующих функций

 

Задача 4. Исследуйте на экстремум следующие функции

Задача 5. Найти следующие интегралы:

а)

б)

в)

г)

Задача 6. Фигура, ограниченная прямыми вращается вокруг оси абсцисс. Найти объем полученного тела вращения.

 

Вариант 4

Задача 1. Найти производные следующих функций:

а) .

б) . Вычислить

в).

г)

Задача 2.Найти уравнение касательной к кривой , проходящей через точку с абсциссой, равной -1

Задача 3. Найдите промежутки монотонности следующих функций

Задача 4. Исследуйте на экстремум следующие функции

Задача 5. Найти следующие интегралы:

а)

б)

в)

г)

Задача 6. Фигура, образованная кривой и прямыми вращается вокруг оси абсцисс. Найти объем полученного тела вращения.

Вариант 5

Задача 1. Найти производные следующих функций:

а) .

б)

 

в). . Вычислить

 

г)

Задача 2.Тело движется прямолинейно по закону . Определить скорость тела в конце пятой секунды ( ). Путь выражен в метрах

Задача 3. Найдите промежутки монотонности следующих функций

Задача 4. Исследуйте на экстремум следующие функции

Задача 5. Найти следующие интегралы:

а)

б)

в)

г)

Задача 6. Фигура, ограниченная кривой вращается вокруг оси абсцисс. Найти объем полученного тела вращения.

Вариант 6

Задача 1. Найти производные следующих функций:

а) .

б) . Вычислить

в).

г)

Задача 2.Найти уравнения касательных к кривой , образующих с осью абсцисс угол 135 градусов.

Задача 3. Найдите промежутки монотонности следующих функций

Задача 4. Исследуйте на экстремум следующие функции

Задача 5. Найти следующие интегралы:

а)

б)

в)

г)

Задача 6. Найти объем тела, поверхность которого образуется вращением кривой вокруг оси Oy.

Вариант 7

Задача 1. Найти производные следующих функций:

а) .

б) .

 

в) Вычислить

г) г)

Задача 2. Построить график скорости движения тела, заданного уравнениями:

Задача 3. Найдите промежутки монотонности следующих функций,

Задача 4. Исследуйте на экстремум следующие функции

Задача 5. Найти следующие интегралы:

а)

б)

в)

г)

Задача 6. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой и прямой

Вариант 8

Задача 1. Найти производные следующих функций:

а) Вычислить

б) .

в).

г)

Задача 2.Найти уравнения касательных к кривой , параллельных оси Оx.

Задача 3. Найдите промежутки монотонности следующих функций

Задача 4. Исследуйте на экстремум следующие функции

Задача 5. Найти следующие интегралы:

а)

б)

в)

г)

 

Задача 6. Шар, диаметр которого равен 12 см, рассечен тремя параллельными плоскостями, удаленными друг от друга на расстояния, равные четвертой части его диаметра. Определить объем вырезанного шарового слоя.

 

Вариант 9

Задача 1. Найти производные следующих функций:

а) . Вычислить

 

б) .

 

в) г) г)

Задача 2. Построить график скорости движения тела, заданного уравнениями:

Задача 3. Найдите промежутки монотонности следующих функций

 

Задача 4. Исследуйте на экстремум следующие функции

Задача 5. Найти следующие интегралы:

а)

б)

в)

г)

Задача 6. Найти объем шарового сегмента высотой 3 см, отсеченного от шара радиуса 6 см

Вариант 10

Задача 1. Найти производные следующих функций:

а)

б) .

в). Вычислить

 

г)

Задача 2. В каких точках кривой , надо провести касательную, чтобы она была параллельна прямой

Задача 3. Найдите промежутки монотонности следующих функций

 

Задача 4. Исследуйте на экстремум следующие функции

Задача 5. Найти следующие интегралы:

а)

б)

в)

г)

Задача 6. Найти объем тела, поверхность которого образуется вращением дуги окружности и прямых вокруг оси ОY

Вариант 11

Задача 1. Найти производные следующих функций:

а)

б) Вычислить

в). .

г)

Задача 2.Построить график изменения скорости тела, движущегося по закону , на отрезке времени

Задача 3. Найдите промежутки монотонности следующих функций

Задача 4. Исследуйте на экстремум следующие функции

Задача 5. Найти следующие интегралы:

а)

б)

в)

г)

Задача 6. Вычислить объем тела, полученного при вращении вокруг оси OYфигуры, ограниченной прямыми

Вариант 12

Задача 1. Найти производные следующих функций:

а) .

б) . Вычислить

в)

г)

Задача 2. Построить график скорости движения тела, заданного уравнениями:

Задача 3. Найдите промежутки монотонности следующих функций

Задача 4. Исследуйте на экстремум следующие функции

Задача 5. Найти следующие интегралы:

а)

б)

в)

г)

Задача 6. Площадь фигуры, ограниченной положительными полуосями координат и прямыми , равна 48 кв.ед. масшатаба. Определить a(верхний предел интеграла)

Вариант 13

Задача 1. Найти производные следующих функций:

а) . Вычислить

б)

в). .

г)

Задача 2. В каких точках кривой надо провести касательную, чтобы она была параллельна прямой

Задача 3. Найдите промежутки монотонности следующих функций

Задача 4. Исследуйте на экстремум следующие функции

Задача 5. Найти следующие интегралы:

а)

б)

в)

г)

Задача 6. Найти объем параболоида, поверхность которого образована вращением дуги параболы , заключенной между прямыми , вокруг оси Оx.

 

Вариант 14

Задача 1. Найти производные следующих функций:

а)

б) . Вычислить

в).

г)

Задача 2. Найти уравнение касательной к кривой , параллельной прямой

.

Задача 3. Найдите промежутки монотонности следующих функций

 

Задача 4. Исследуйте на экстремум следующие функции

Задача 5. Найти следующие интегралы:

а)

б)

в)

г)

Задача 6. Найти площадь, ограниченную прямыми

.

 

Вариант 15

Задача 1. Найти производные следующих функций:

а)

б) .

в). . Вычислить

г)

Задача 2. К кривой проведена касательная в точке . Найти уравнение этой касательной.

Задача 3. Найдите промежутки монотонности следующих функций

Задача 4. Исследуйте на экстремум следующие функции

Задача 5. Найти следующие интегралы:

а)

б)

в)

г)

Задача 6. Фигура, ограниченная дугами парабол и осью абсцисс, вращается вокруг оси ординат. Найти объем полученного тела вращения