Формирование оптимального управления в соответствие с принципом максимума Понтрягина. Решение краевой задачи
Цель работы:знакомство с решением различных краевых задач на примере формирования оптимального управления в соответствие с принципом максимума Понтрягина. Введение. Данная задача заключается в поиске такой управляющей функции и соответствующей траектории , удовлетворяющей системе дифференциальных уравнений, на которых некоторый функционал достигает минимального значения. В зависимости от исходной системы применяют тот или иной метод. Постановка задачи. Предполагаем, что управляемый процесс описывается системой дифференциальных уравнений
с начальными условиями (5.2) Здесь: - n - мерная функция своих аргументов - n- мерный вектор, характеризующий состояние управляемого процесса в момент времени , - r - мерный вектор управляющих воздействий (из некоторого заданного класса функций), Как известно, задача синтеза управления заключается в построении таких управляющих воздействий, при которых выполняется совокупность ограничений на состояние процесса, например, по времени переходного процесса, по величине максимального перерегулирования и т.п. Задача же оптимального управления заключается в отыскании таких управляющих воздействий, при которых управляемый процесс будет наилучшим в некотором смысле. При этом для оценки качества управляемого движения вводится функционал . В качестве критерия оптимальности рассматривается функционал Майера , (5.3) где t1 – заданное конечное время управления. В рассматриваемом случае начальное состояние считается заданным, а - свободным, т.е. рассматривается задача со свободным правым концом. Оптимальное управление, доставляющее минимум функционалу (3) находится в соответствии с принципом максима Понтрягина. Для этого вводится функция , (5.4) где - правые части уравнений движения (1), - множители Лагранжа, удовлетворяющие уравнениям (5.5) с граничными условиями (5.6) Исходная система (1), (2) может быть представлена в виде , (5.7) , (5.8) - заданные величины. В соответствие с (5.3) – (5.8) функция при фиксированных является функцией управления и ее можно исследовать на минимум или максимум. Будем говорить, что удовлетворяет условию максимума функции H, если при фиксированных для любого времени t выполняется условие (5.9) Тогда справедливо следующее утверждение. Если управление доставляет минимум функционалу (5.3), то оно удовлетворяет условию максимума (5.9), где определяются из системы уравнений (5.5)- (5.8) при управлении , найденном из условия максимума (5.9). Из формулировки принципа максимума следует, что он является необходимым условием абсолютного минимума. Принцип максимума, сформулированный академиком Понтрягиным Л.С. , позволяет получить замкнутую систему уравнений (5.4) – (5.9) для определения оптимального управления и соответствующего ему решения. Следует отметить, что в соответствие с принципом максимума задача минимизации функционала сводится к решению краевой задачи, что представляет собой основную трудность. Важно отметить, что существуют две способа решения краевой задачи, т.е. получения в соответствии с управлением u0 (t) . Простое решение краевой задачи существует, если управлением u0 (t) не зависит от множителей Лагранжа. Более сложное решение – если есть такая зависимость.
Популярное: Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (660)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |