Решение типового примера. А(0; 1), В(6; 4), С(3; 5) – координаты вершин треугольника АВС

А(0; 1), В(6; 4), С(3; 5) – координаты вершин треугольника АВС.

1. Длину стороны АВ найдем как расстояние между точками ;

.

2. Уравнение прямой, проходящей через точки и , найдем по формуле ;

АВ: ; ; ; ; –уравнение АВ. .

ВС: ; ; ; ; – уравнение ВС . .

3.Тангенс угла α между двумя прямыми, угловые коэффициенты которых соответственно равны K₁ и K₂, вычисляется по формуле .

Искомый угол В образован прямыми АВ и АС: ; ;

,

, или рад.

4. Высота , следовательно ее угловой коэффициент найдем из условия перпендикулярности двух прямых:

.

Тогда уравнение СD будет иметь следующий вид:

; .

Длину высоты СD найдем как расстояние от точки С до прямой АВ, используя формулу расстояния от точки до прямой ; . Уравнение АВ: ; С(3;5); тогда .

5. Точка Е является серединой отрезка ВС:

; . E(4,5;4,5).

AE: ;

– уравнение АЕ.

Для того, чтобы найти точку K пересечения медианы АЕ и высоты СД решим систему уравнений:

x=3,6 y=3,8. Точка K(3,6;3,8).

6.Прямая, параллельная АВ, будет иметь угловой коэффициент, равный угловому коэффициенту АВ: . Тогда уравнение прямой, проходящей через точку К параллельно АВ, будет иметь такой вид:

или .

Задачи 41–60. Даны координаты точек А, ВиС.

Требу­ется:

1) составить канонические уравнения прямой АВ;

Решение типового примера

Пусть А(4;-1;-3), В(2;-3;-2), С(-3;2;3).

1. Канонические уравнения прямой в пространстве имеют следующий вид:

,

где х , у , z– координаты точки, через которую проходит прямая;

m, n, p–координаты направляющего вектора этой прямой; в данном случае это будут координаты вектора . Тогда уравнения прямой

2. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку М(х,y,z), перпендикулярно данному вектору (A,B,C):

А(х-х₀ )+В(у-у₀ )+С(z-z₀ )=0.

Тогда уравнение плоскости Р: -2(х+3)-2(у-2)+(z-3)=0.

После упрощения: -2х-2у+z -5=0 или 2х+2у-z +5=0.

3. Для того, чтобы найти точку пересечения прямой и плоскости,

нужно уравнения прямой представить в параметрическом виде:

, где t –параметр.

Уравнение АВ в параметрическом виде: .

Подставим эти значения в уравнение плоскости Р: , ,

, . Тогда , т.е. точка пересечения М прямой АВ и плоскости Р имеет координаты: .

4. Расстояние от точки до плоскости вычисляем по формуле: .

Найдем расстояние от точки А до плоскости Р: .

Тема 3. ВВЕДЕНИЕ В МАтематический анализ