Решение типового примера. Непрерывная случайная величина Х задана интегральной функцией распределения

Непрерывная случайная величина Х задана интегральной функцией распределения

.

Найти: 1) дифференциальную функцию распределения ;

2) построить графики функций ;

3) Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины.

Р е ш е н и е. 1. Дифференциальной функцией распределения непрерывной СВ Х называется производная от интегральной функции распределения, т.е. .

В нашем случае имеет вид: .

2. Построим графики :

.

Рис. 5.

Рис. 6.

3. Если непрерывная СВ Х задана функцией , то ее математическое ожидание определяется по формуле

.

Так как функция при и при равна нулю, то имеем из последней формулы

.

Дисперсию вычисляем по формуле .

Тогда .

Задачи 361–380.

361. Норма высева на 1 га равна 145 кг. Фактический расход семян на 1 га колеблется около этого значения; слу­чайные отклонения характеризуются средним квадратическим отклонением 10 кг. Определить:

1) вероятность того, что рас­ход семян на 100 га не превысит

15,1 т; 2) количество семян, обеспечивающее посев 100 га с вероятностью 0,95.

362. Норма высева на 1 га равна 170 кг. Фактический расход семян на 1 га колеблется около этого значения; слу­чайные значения характеризуются средним квадратическим отклонением 11 кг. Определить: 1) вероятность того, что рас­ход семян на 100 га не превысит 17,15 т; 2) количество се­мян, обеспечивающих посев 100 га с гарантией 0,99.

363. Средняя глубина посева семян составляет 4,5 см; отдельные отклонения от этого значения случайные, распреде­лены нормально со средним квадратическим отклонением 0,7 см. Определить: 1) долю семян, посеянных на глубину более 5 см; 2) долю семян, посеянных на глубину менее 3 см.

364. Путем взятия проб установлено, что потери зерна при уборке составили в среднем 3 г на 1 м² среднее квадратическое отклонение потерь 1 г. Определить: 1) вероят­ность того, что на 1 га потери составят не менее 29,7 кг; 2) величину, которую не превзойдут потери на

1 га с веро­ятностью 0,97.

365. Средний вес одного яблока равен 130 г; отклонения в весе характеризуются средним квадратическим отклонением 25 г. Отбирается подряд, без выбора, 100 яблок. Определить: 1) вероятность того, что вес 100 яблок окажется не менее 12,5 кг; 2) наибольшее значение, которое не превзойдет вес 100 яблок с вероятностью 0,96.

366. Средний вес плодов в одном ящике равен 10 кг, а среднее квадратическое отклонение в весе плодов одного ящика равно 1,5 кг. Определить: 1) вероятность того, что в 100 ящиках окажется не менее 965 кг; 2) наибольшее значе­ние, которое не превзойдет вес плодов в 100 ящиках с вероятностью 0,95.

367. Случайные значения веса зерна распределены нор­мально. Математическое ожидание веса зерна равно 0,18 г, среднее квадратическое отклонение равно 0,04 г. Нормальные сходы дают зерна, вес которых более 0,15 г. Определить: 1) процент семян, которые дадут нормальные всходы; 2) ве­личину, которую не превзойдет вес отдельного зерна с вероятностью 0,96.

368.Средний диаметр стволов деревьев на некоторойделянке равен 30 см, среднее квадратическое отклонение 5 см. Считая, что диаметр ствола – случайная величина, распре­деленная нормально. Определить: 1) процент стволов, име­ющих диаметр свыше 24 см; 2) размер, который не превзой­дет диаметр ствола дерева с вероятностью 0,96.

369. Случайные отклонения размера детали от номина­ла распределены нормально; математическое ожидание раз­мера детали равно 250 мм, среднее квадратическое отклоне­ние 0,8 мм. Годными считаются те детали, размер которых заключен между 249 и 251 мм. Определить: 1) вероятность изготовления годной детали; 2) процент бракованных деталей, если точность изготовления улучшится и будет характеризо­ваться средним квадратическим отклонением 0,6 мм.

370. Диаметр валиков, обработанных на токарном стан­ке, подчинен закону нормального распределения с математи­ческим ожиданием 23 мм и средним квадратическим откло­нением 0,5 мм. Годными считаются те валики, диаметр кото­рых заключен между 22 и 25 мм. Определить: 1) вероятность изготовления годного валика; 2) процент бракованных вали­ков, если точность изготовления улучшится и будет характе­ризоваться средним квадратическим отклонением 0,4 мм.

371. Распределение хозяйств некоторого района по про­центу выполнения плана продажи продукции государству подчинен закону нормального распределения с математиче­ским ожиданием 103,5% и средним квадратическим откло­нением 1,5%. Определить: 1) процент хозяйств, не выполнив­ших план; 2) величину, которую не превзойдет процент вы­полнения плана наудачу взятого хозяйства с вероятностью 0,97.

372. Распределение пакетов по весу расфасованного то­вара подчинено нормальному закону с математическим ожи­данием 1 кг и средним квадратическим отклонением 0,02 кг. Определить: 1) вероятность того, что вес наудачу взятого пакета будет не меньше 990 г; 2) наибольшее значение, ко­торое не превзойдет вес пакета с вероятностью 0,95.

373. Распределение коров некоторой фермы по годовому удою молока подчинено нормальному закону с математиче­ским ожиданием 3000 кг и средним квадратическим отклоне­нием 850 кг. В Государственную племенную книгу записыва­ют коров с годовым удоем не менее 4200 кг. Определить: 1) процент коров этой фермы, которые попадут в Государст­венную книгу; 2) величину, которую не превысит годовой удой наудачу взятой коровы с вероятностью 0,97.

374. Длина рыбы является случайной величиной, рас­пределенной нормально с математическим ожиданием 30 см и средним квадратическим отклонением 5 см. Определить: 1) вероятность того, что длина наудачу выловленной рыбы заключена между 27 и 31 см; 2) процент рыб, имеющих дли­ну свыше 35 см.

375. Высота деревьев в некоторой роще подчиняется нормальному закону с математическим ожиданием 12 м и средним квадратическим отклонением 2 м. Определить: 1) процент деревьев рощи, высота которых превышает 15 м; 2) величину, которую не превышает высота наудачу взятого дерева с вероятностью 0,98.

376. В партии яиц средний вес яйца равен 58 г, среднее квадратическое отклонение – 6 г. Вес яиц является случайной величиной, распределенной нормально. В заготовку принима­ют яйца весом от 50 до 65 г. Определить: 1) процент яиц, идущих в заготовку; 2) величину, которую не превысит вес наудачу взятого яйца с вероятностью 0,96.

377. Вес коров является величиной случайной, распреде­ленной нормально. Пусть математическое ожидание равно 460 кг, а среднее квадратическое отклонение – 20 кг. Опреде­лить: 1) вероятность того, что вес наудачу взятой коровы за­ключен между 400 и 470 кг; 2) процент коров, имеющих вес свыше 480 кг.

378. Диаметр куриных яиц есть случайная величина, рас­пределенная нормально. Пусть для данной партии яиц мате­матическое ожидание равно 50 мм, среднее квадратическое отклонение – 2,5 мм. Определить: 1) вероятность того, что диа­метр наудачу взятого яйца не меньше 48 мм; 2) величину, которую не превышает диаметр наудачу взятого яйца с веро­ятностью 0,95.

379. Масса вагона есть случайная величина, распреде­ленная нормально с математическим ожиданием 66 т и сред­ним квадратическим отклонением 0,9 т. Определить: 1) веро­ятность того, что очередной вагон имеет массу от 60 до 70 т; 2) величину, которую не превышает масса наудачу взятого вагона с вероятностью 0,95.

380. Стрельба ведется по цели вдоль некоторой прямой линии. Средняя дальность полета снаряда равна 1210 м. Предполагаем, что дальность полета снаряда распределена по нормальному закону со средним квадратическим отклоне­нием 45 м. Определить, какой процент выпускаемых снарядов даст перелет от 20 до 60 м.