Тема 6. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

 

Для решения задач по этой теме нужно обратить внимание на определения первообразной и неопределенного интеграла, свойства неопределенного интеграла, усвоить таблицу основных интегралов и основные методы интегрирования. Успех в решении задач достигается правильным выбором метода интегрирования и накопленным опытом вычисления интегралов. Особое внимание уделить методам подстановки и интегрирования по частям. При вычислении интегралов от рациональных дробей нужно усвоить методику разложения рациональных дробей на простейшие дроби и их интегрирование.

 

Вопросы для изучения и самопроверки

 

1. Понятие первообразной.

2. Неопределенный интеграл и его свойства.

3. Таблица интегралов.

4. Основные методы интегрирования.

5. Рациональные дроби, разложение на простейшие дроби.

6. Интегрирование простейших дробей.

7. Интегрирование рациональных дробей.

 

 

Задачи 161–180.Найти неопределенные интегралы и результаты проверить дифференцированием.

161. а) б) ;

в) .

162. а) ; б) ;

в) .

163. а) б)

в)

164.а) б)

в)

165. а) б)

в)

166. а) б)

в)

167. а) б)

в)

168. а) б)

в)

169. а) б)

в)

170. а) б)

в)

171. а) б)

в)

172. а) б)

в)

173. а) б)

в)

174. а) б)

в)

175. а) б)

в)

176. а) б)

в) .

177. а) б)

в)

178. а) б)

в)

179. а) б)

в)

180. а) б)

в)

 

Решение типовых примеров

 

При решении примеров рекомендуется использовать свойства неопределенного интеграла, таблицу интегралов, применять методы замены переменной и интегрирования по частям в неопределенном интеграле.

Основная таблица интегралов

1. 2.

 

3. 4.

 

5. 6.

 

7. 8.

 

9. 10.

 

11.

 

П р и м е р ы.Найти неопределенные интегралы и результаты проверить дифференцированием.

= =

=

При решении примера использовались свойства степени:

2.

=

При решении примера применялся метод замены переменной.

.

3.

=

При решении примера применялся метод интегрирования по частям.

Тема 7. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ ПЛОЩАДЕЙ ПЛОСКИХ ФИГУР

Изучение темы следует начинать с задач, приводящих к понятию определенного интеграла. Усвоить определение и свойства определенного интеграла, формулу Ньютона–Лейбница и ее применение. Изучить методы вычисления определенного интеграла и их специфику по сравнению с аналогичными методами в неопределен­ном интеграле, обратить внимание на применение определенного интеграла в геометрии и при решении конкретных практических задач.

 

Вопросы для изучения и самопроверки

 

1. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла.

2. Определенный интеграл и его свойства.

3. Формула Ньютона–Лейбница.

4. Методы вычисления определенного интеграла.

5. Применение определенного интеграла для вычисления площадей и объемов.

6. Применение определенного интеграла в задачах практического характера.

Задачи 181–200.Вычислить определенные интегралы.

181. а) б) в)

182. а) б) в)

183. а) б) в)

184. а) б) в)

185. а) б) в)

186. а) б) в)

187. а) б) в)

188. а) б) в)

189. а) б) в)

190. а) б) в)

191. а) б) в)

192. а) б) в)

193. а) б) в)

194. а) б) в)

195. а) б) в)

196. а) б) в)

197. а) б) в)

198. а) б) в)

199. а) б) в)

200. а) б) в)