Базис декартова прямоугольной системы координат

Единичный вектор , т.е. вектор длины 1, определяет числовую ось , начало которой совмещено с началом вектора , а числу 1 соответствует конец вектора. Он называется базисным вектором оси.

Пусть - произвольный вектор, коллинеарный базисному вектору. Отложив вектор от начала оси, получим действительное число , определяемое на числовой оси концом отложенного вектора. Это число называется координатой вектора. Имеем

.

На координатной плоскости имеются два базисных вектора: на оси абсцисс, обозначаемый через , и на оси ординат, обозначаемый через .

Пусть - произвольный вектор на плоскости. Отложив вектор от начала координат мы однозначно определим упорядоченную пару действительных чисел и - координат конца отложенного вектора. Эти числа называются координатами вектора относительно базиса .

Так как , , то .

В координатном пространстве - три базисных вектора: - на оси абсцисс, - на оси ординат, - на оси аппликат. Пусть - произвольный вектор в пространстве. Отложив вектор от начала координат, мы получим упорядоченную тройку чисел - координаты конца М отложенного вектора. Эти числа называются координатами вектора относительно базиса . Так как

, ,

то

.

Замечание. Вектор с началом в начале координат и концом в точке М (прямой, плоскости, пространства) называется радиус-вектором точки М. Таким образом, декартовыми координатами вектора относительно данной системы координат называются координаты конца равного этому вектору радиус-вектора.

Из определения координат вектора непосредственно следует, что 1) при сложении векторов их соответствующие координаты складываются, 2) при умножении вектора на число каждая координата умножается на это число. В частности, справедлива формула:

утверждающая, что вектор, определяемый двумя заданными точками и равен разности радиус- вектора конца и радиус-вектора начала, т.е. для вектора справедливо правило: «конец минус начало»

Если на прямой даны три точки , и , причем и справедливо векторное равенство:

то говорят, что точка М делит отрезок в отношении l. Причём

откуда находим:

Полагая получим координаты середины отрезка

т.е. они равны полусуммам соответствующих координат его концов.

Пример. Даны векторы и в некотором базисе. Показать, что векторы , и образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе.

Векторы образуют базис, если они линейно независимы, другими словами, если уравнения, входящие в систему:

линейно независимы.

Тогда . Это условие выполняется, если определитель матрицы системы отличен от нуля.

;

;

Для решения этой системы воспользуемся методом Крамера.

;

Следовательно, координаты вектора в базисе , , :