Свойства векторного произведения векторов
Определение. Декартова прямоугольная система координат в пространстве называется правой (левой), если поворот от базисного вектора к вектору на наименьший угол виден с конца вектора осуществляющимся против (по) часовой стрелки. Говорят также, что тройка базисных векторов имеет правую (левую) ориентацию. Определение. Векторным произведением двух неколлинеарных векторов и называется вектор , перпендикулярный плоскости векторов и , имеющий длину, равную площади параллелограмма, построенного на векторах и и направленный так, что тройка векторов так же ориентирована, как и тройка базисных векторов . Обозначение: . Векторное произведение двух коллинеарных векторов и в случае, когда один или оба сомножителя - нуль-векторы, по определению, равно нулю. Теорема. Векторное произведение обладает следующими свойствами: 1) 2) 3) где - произвольные векторы. Докажем свойства 1) и 3). При и при все части этих тождеств - нулевые векторы, т.е. тождества справедливы. Пусть . Левая и правая части тождеств 1) и 3) определяют векторы, перпендикулярные одной и той же плоскости, т.е. коллинеарные друг другу. Длины этих векторов, как площади равных или равновеликих параллелограммов, равны. Эти векторы одинаково направлены. Действительно, поворот от вектора к вектору противоположен повороту от к , а знак минус в тождестве 1) меняет направление вектора на противоположное. При направления всех векторных произведений в тождестве 3) одинаковы, а при направление каждого векторного произведения этого тождества меняется на противоположное. Пусть - угол между неколлинеарными векторами и . Тогда Теорема. Векторное произведение двух векторов (4.1) определяется формулой: Доказательство. Из определения и свойств векторного произведения непосредственно следует, что правые части формул (4.1) можно перемножать как многочлен на многочлен, но, в отличие от скалярного произведения, со строгим соблюдением порядка следования множителей. Кроме того, Получаем: . Правую часть этого равенства можно записать в виде определителя третьего порядка, в первой строке которого - базисные векторы во второй - координаты первого вектора, в третьей - второго. Следствие. Площадь треугольника с вершинами равна половине модуля векторного произведения , т.е. . Векторное произведение является внутренней операцией умножения на множестве векторов в пространстве. Эта операция антикоммутативна. Оказывается, что для векторного умножения не выполняется также закон ассоциативности, так как
т.е. Пример. Найти векторное произведение векторов и . Имеем ; ; . Пример. Вычислить площадь треугольника с вершинами (ед2). Пример. Доказать, что векторы , и компланарны. Имеем: . Векторы линейно зависимы, следовательно, они компланарны.
Пример. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах , если (ед2).
Популярное: Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (1483)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |