Логарифмическое дифференцирование

Рассмотрим функцию .

Тогда , т.к. .

Учитывая полученный результат, можно записать .

Отношение называется логарифмической производной функции .

Способ логарифмического дифференцированиясостоит в том, что сначала находят логарифмическую производную функции, а затем производную самой функции по формуле

Способ логарифмического дифференцирования удобно применять для нахождения производных сложных, особенно показательных функций, для которых непосредственное вычисление производной с использованием правил дифференцирования представляется трудоемким.

Производная показательно- степенной функции

Функция называется показательной, если независимая переменная входит в показатель степени, и степенной, если переменная является основанием. Если же и основание и показатель степени зависят от переменной, то такая функция будет показательно – степенной.

Пусть и – функции, имеющие производные в точке , .

Найдем производную функции . Логарифмируя, получим:

,

,

,

.

Пример. Найти производную функции .

По полученной выше формуле получаем:

Производные этих функций:

Окончательно:

.

Производная обратной функции

Пусть требуется найти производную функции при условии, что обратная ей функция имеет производную, отличную от нуля в соответствующей точке .

Для решения этой задачи дифференцируем функцию по :

.

Так как , то

,

,

т.е. производная обратной функции равна обратному значению данной функции.

Пример. Найти формулу для производной функции .

Функция является функцией, обратной функции , т.е. ее производная может быть найдена следующим образом:

Известно, что Используя приведенную выше формулу получаем:

.

Т.к. то можно записать окончательную формулу для производной арктангенса:

Аналогично получаются другие формулы для производных арксинуса, арккосинуса и других обратных функций, приведенные в таблице производных.

Дифференциал функции. Геометрический смысл дифференциала

Пусть функция имеет производную в точке :

Тогда справедливо равенство: , где , при .

Следовательно: .

Величина является бесконечно малой более высокого порядка, чем , т.е. - главная часть приращения .

Определение. Дифференциалом функции в точке называется главная линейная часть приращения функции. Обозначается или .

Из определения следует, что или , так как . Следовательно, .

Геометрический смысл дифференциала.

y

K

M

L

x x

Из треугольника находим .

Таким образом, дифференциал функции в точке равен приращению ординаты касательной к графику этой функции в рассматриваемой точке.