Раскрытие неопределенностей

К разряду неопределенностей принято относить следующие соотношения:

.

Теорема(правило Лопиталя). Если функции и дифференцируемы в некоторой окрестности точки а, непрерывны в точке а, отлична от нуля в некотоой окретности точки а и , то предел отношения функций при равен пределу отношения их производных, если этот предел (конечный или бесконечный) существует.

Доказательство. Применив формулу Коши, получим:

,

где - точка, находящаяся между и . Учитывая, что , находим

.

Пусть при отношение стремится к некоторому пределу. Так как точка лежит между точками и , то при получим и, следовательно, отношение стремится к тому же пределу. Таким образом:

.

Теорема доказана.

Пример. Найти предел .

Как видно, при попытке непосредственного вычисления предела получается неопределенность вида . Функции, входящие в числитель и знаменатель дроби удовлетворяют требованиям теоремы Лопиталя. Находим

; ;

.

Пример. Найти предел .

; ;

.

Замечание. Если при решении примера после применения правила Лопиталя попытка вычислить предел опять приводит к неопределенности, то правило Лопиталя может быть применено второй раз, третий и т.д. пока не будет получен результат. Естественно, это возможно только в том случае, если вновь полученные функции в свою очередь удовлетворяют требованиям теоремы Лопиталя.

Пример. Найти предел . Находим:

; ;

; ;

;

; ;

Следует отметить, что правило Лопиталя – всего лишь один из способов вычисления пределов. Часто в конкретном примере наряду с правилом Лопиталя может быть использован и какой – либо другой метод (замена переменных, домножение и др.).

Пример.Найти предел . Находим:

; ;

- опять получилась неопределенность. Применим правило Лопиталя еще раз.

; ;

- применяем правило Лопиталя еще раз.

; ;

.

Неопределенности вида можно раскрыть с помощью логарифмирования. Такие неопределенности встречаются при нахождении пределов функций вида , в некоторой окрестноститочки при . Для нахождения предела такой функции достаточно найти предел функции .

Пример. Найти предел .

Здесь , .

Тогда .

Следовательно

Пример. Найти предел . Имеем:

; - получили неопределенность.

Применяем правило Лопиталя еще раз.

; .

Производные и дифференциалы высших порядков

Пусть функция дифференцируема на некотором интервале. Дифференцируя, находим её первую производную:

.

Если найти производную функции , получим вторую производнуюфункции если последняя существует:

,

т.е. или .

Этот процесс можно продолжить и далее, находя производные степени .

.