Производная и дифференциал функции

Производная функции, ее геометрический смысл

Определение. Производной функции в точке называется предел, если он существует, отношения приращения функции в точке к приращению аргумента в этой точке, когда последнее стремится к нулю:

,

где - приращение аргумента в точке , а - соответствующее этому приращению приращение функции в этой точке.

у

P

M

0 x

Пусть функция определена на некотором промежутке и имеет во внутренней точке этого промежутка конечную производную. Пусть - точка графика функции , соответствующая абсциссе , а - произвольная точка графика функции.

Касательной к кривой в точке называется предельное положение секущей , когда точка стремится к точке по кривой с любой стороны.

Обозначим через угол наклона секущей МР к положительному направлению оси . Тогда . Находим

,

где - угол наклона касательной к графику функции в точке .

Угол между кривыми в их общей точке определяется как угол между касательными, проведенными к этим кривым в их общей точке.

Уравнение касательной к кривой в точке имеет вид:

Уравнение нормали к кривой в точке имеет вид: .

Функция имеющая конечную производную в точке называется дифференцируемой в этой точке.

Односторонние производные функции в точке

Определение. Правой (левой) производной функции в точке называется правый (левый) предел

при условии, что этот предел существует.

Если функция имеет производную в некоторой точке , то она имеет в этой точке односторонние производные. Однако, обратное утверждение неверно. Во-первых функция может иметь разрыв в точке , а во- вторых, даже если функция непрерывна в точке , она может быть в ней не дифференцируема.

Например: - имеет в точке и левую и правую производную, непрерывна в этой точке, однако, не имеет в ней производной.

Теорема. (Необходимое условие существования производной) Если функция имеет производную в точке , то она непрерывна в этой точке.

Очевидно, что это условие не является достаточным.

Основные правила дифференцирования

Пусть - функции, дифференцируемые в точке . Тогда:

1)

2)

3) , если v ¹ 0

Эти правила могут быть доказаны на основе теорем о пределах.

Производные основных элементарных функций.

1) , 9) ,

2) , 10) ,

3) , 11) ,

4) , 12) ,

5) , 13) ,

6) , 14) ,

7) , 15) ,

8) , 16) .

Производная сложной функции

Теорема.Пусть , причем область значений функции входит в область определения функции .Тогда

Доказательство. Имеем

.

Переходя к пределу в обеих частях при получим:

,

(с учетом того, что если , то , т.к. – непрерывная функция)

Тогда . Теорема доказана.