Числовые последовательности и операции над ними
Определение. Если каждому натуральному числу поставлено в соответствие по некоторому закону определённое число , то говорят, что на множестве всех натуральных чисел задана последовательность Общий член последовательности является функцией от . Таким образом, последовательность является функцией натурального аргумента. Задать последовательность можно различными способами. Необходимо только, чтобы был указан способ получения любого члена последовательности. Пример. или . или Для последовательностей можно определить следующие операции: 1) Умножение последовательности на число : , т.е. 2) Сложение (вычитание) последовательностей: . 3) Произведение последовательностей: . 4) Частное последовательностей: при .
Ограниченные и неограниченные последовательности
Определение. Последовательность называется ограниченной, если существует такое число , что для любого справедливо неравенство: т.е. все члены последовательности принадлежат отрезку . Определение. Последовательность называется ограниченной сверху, если для любого существует такое число , что . Определение. Последовательность называется ограниченной снизу, если для любого n существует такое число , что Пример. – ограничена снизу {1, 2, 3, … }. Определение. Число называется пределом последовательности , если для любого положительного существует такой номер , что для всех выполняется неравенство: Обозначение: . В этом случае говорят, что последовательность сходится к при . Пример. Доказать, что предел последовательности . Пусть при верно , т.е. . Это верно при , таким образом, если за взять целую часть от , то утверждение, приведенное выше, выполняется. Пример. Показать, что при последовательность имеет пределом число 2. Имеем ; .Для любого положительного числа существует такое натуральное число , что , т.е. . Теорема. Последовательность не может иметь более одного предела.
Доказательство. Предположим, что последовательность имеет два предела и , не равные друг другу. . Тогда по определению существует такое число , что и . Запишем выражение: . Так как - любоеположительноечисло, то , т.е. . Теорема доказана. Теорема. Если , то . Доказательство. Из следует, что . В то же время:
, т.е. , т.е. . Теорема доказана. Теорема. Если , то последовательность ограничена. Необходимо отметить, что обратное утверждение неверно, т.е. из ограниченности последовательности не следует ее сходимость. Например, последовательность не имеет предел. В то же время
Монотонные последовательности
Определении 1) Если для всех , то последовательность называется возрастающей. 2) Если для всех , то последовательность называется неубывающей. 3) Если для всех , то последовательность называется убывающей. 4) Если для всех , то последовательность называется невозрастающей. Все эти последовательности называются монотонными. Возрастающие и убывающие последовательности называются строго монотонными. Пример. – убывающая и ограниченная; – возрастающая и неограниченная. Пример. Доказать, что последовательность монотонная и возрастающая. Найдем -й член последовательности Найдем знак разности: , т.к. , то знаменатель положительный при любом . Таким образом, . Последовательность возрастающая, что и следовало доказать. Пример. Выяснить является возрастающей или убывающей последовательность . Найдём . Определим разность , так как , то , т.е. . Последовательность монотонно убывает. Заметим, что монотонные последовательности являютс ограниченными по крайней мере с одной стороны. Теорема. Монотонная ограниченная последовательность имеет конечный предел. Доказательство. Рассмотрим монотонную неубывающую последовательность Эта последовательность ограничена сверху: , где – некоторое число. Так как любое ограниченное сверху, числовое множество имеет точную верхнюю грань, то для любого существует число такое, что , где – точная верхняя грань множества значений последовательности. Так как - неубывающая последовательность, то при , . Отсюда или или , т.е. . Для остальных монотонных последовательностей доказательство аналогично. Теорема доказана. Число е
Рассмотрим последовательность .Если последовательность монотонная и ограниченная, то она имеет конечный предел. По формуле бинома Ньютона:
или Покажем, что последовательность – возрастающая. Действительно, запишем выражение и сравним его с выражением : Каждое слагаемое в выражении больше соответствующего значения , и, кроме того, у последовательности добавляется еще одно положительное слагаемое. Таким образом, для любого натурального числа , т.е последовательность возрастающая. Докажем теперь, что при любом n ее члены не превосходят трех: . Таким образом, последовательность - монотонно возрастающая и ограниченная сверху, т.е. имеет конечный предел. Этот предел принято обозначать буквой е. . Число является трпансцендентным числом и приблизительно равно Число является основанием натурального логарифма.
Популярное: Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (2956)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |