Касательная, нормаль к кривой
Как построить касательную к кривой? Для построения используем прямые, называемые секущими. Прямая, пересекающая кривую линию в одной, двух и более точках, называется секущей (АВ). Чтобы через точку А провести касательную t к кривой m, в окрестности точки А (недалеко) выбирают точку В и проводят секущую АВ. Приближая точку В к точке А в пределе получают касательную t в данной точке. В ® А Þ АВ ® t Рис. 1-49 Касательную (t в точке А) можно рассматривать как предельное положение секущей, которое занимает последняя при сближении точек пересечения А и В секущей АВ до слияния их в одну точку. n - нормаль кривой линии в данной точке, n ^ t. Сколько их можно провести? К пространственной кривой можно провести n ® ¥, т.е. к касательной можно построить плоскость, нормальную к ней. Если кривая - плоская, то к касательной можно провести только одну нормаль. Рассмотренная точка А, у которой только одна касательная и одна нормаль , называется обыкновенной точкой кривой. Если вся кривая состоит из обыкновенных точек, то она называется регулярной (гладкой, плавной). У регулярной плоской кривой (рис. 1-50) в каждой точке А, В, С, D, Е к касательной можно провести только одну нормаль, поэтому все точки являются обыкновенными(монотонными). Характеристикой плавной кривой может быть и угол наклона касательных относительно оси Х, который в данном случае меняется плавно. Рис. 1-50
Особые точки кривых линий Точку кривой называют особой (нерегулярной), если положение или направление касательной в этой точке определено неоднозначно. К особым (нерегулярным) относятся: Точки узловые (самопересечения) Точки возврата первого рода Точки возврата второго рода (клюв) Точки самосоприкосновения Точки угловые (точки излома)
Свойства проекций кривых линий Свойства кривых линий и их проекций позволяют наглядно демонстрировать физические, химические, электрические процессы. В геометрии кривые линии - это линии пересечения поверхностей.
Рис. 1-52 1. Проекцией кривой линии является кривая линия (в общем случае). 2. Касательная к кривой проецируется в касательную к ее проекции. 3. Несобственная точка кривой проецируется в несобственную точку ее проекции. 4. Порядок кривой (только для алгебраических кривых) в проекциях не изменяется. 5. Число точек пересечения кривой сохраняется при проецировании.
Некоторые плоские кривые линии Эллипс, парабола, гипербола - алгебраические кривые второго порядка определяются уравнением f (х ,у) = 0. Эллипс АВ = 2а - большая ось эллипса CD = 2в - малая ось эллипса О - центр эллипса F1; F2 - фокусы эллипса А,В,С,D - вершины эллипса Точки M и N - любые точки эллипса |MF1| + |MF2| = |NF1| + |NF2| = АВ - Const Рис. 1-53 Эллипс - это все множество точек, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек (фокусов) есть величина постоянная, равная 2а. У эллипса все точки собственные. Кривая симметрична относительно обеих осей. Всегда можно подобрать такую пару диаметров эллипса, что: хорды, параллельные одному диаметру, делятся другим диаметром пополам, такие диаметры называются сопряженными. Графически можно построить любую точку эллипса, если заданы его оси. Эллипс на рис. 1-54 построен равномерным сжатием окружности в направлении ОС ^ ОА
АВ - большая ось СD - малая ось Разделить окружности на 12 равных частей Из точек пересечения любого луча с окружностями провести прямые, параллельные осям эллипса: из точки 1 || СD, из точки 2 || АВ. Рис. 1-54
Парабола Парабола обладает одной осью и имеет две вершины: О - собственная точка и S ¥ - несобственная точка (парабола имеет одну несобственную точку), F - фокус и Р - параметр параболы Парабола - это все множество точек, равноудаленных от прямой d (директрисы) и данной точки F (фокуса) Рис. 1-55 Если требуется построить параболу по заданной вершине О, оси Х и точки М, то строится прямоугольный треугольник - ОАМ (рис. 1-56) Рис. 1-56
Гипербола Гипербола - разомкнутая кривая, состоящая из двух симметричных ветвей; она имеет две оси симметрии - действительную (ось - х) и мнимую (ось - у). Асимптоты - это прямые, к которым ветви гиперболы неограниченно приближаются при удалении в бесконечность (рис. 1-57). Рис. 1-57 Точки А и В - вершины гиперболы. F1 и F2 - фокусы гиперболы |MF1| - |MF| = |NF1| - |NF2| = const = 2a Расстояние между F1 и F2 равняется сумме (а2 + в2) Гипербола - это все множество точек, разность расстояний от каждой из которых до двух данных точек (фокусов) есть величина постоянная, равная 2а. Построение гиперболы, если заданы вершины А и В и фокусы F1 и F2. Рис. 1-58 Точки - 1, 2, 3, 4, 5 - ряд произвольно взятых точек. Из фокусов F1 и F2, как из центров, проводят дуги, радиусами которых служат расстояния от вершин А и В до точек 1, 2, 3, 4, 5 и т.д.. (рис. 1-59) R2 = В1, В2, В3, В4, В5 R = А1, А2, А3, А4, А5 Рис. 1-59
Эвольвента Эвольвента (развертка окружности)- эта лекальная кривая широко применяется в технике. Например, форма боковой поверхности зуба зубчатых передач, называемая профилем зуба, очерчивается по эвольвенте. Рис. 1-60 Алгоритм построения 1. Окружность разделить на 12 частей. 2. В точках деления провести касательные к окружности направленные в одну сторону 3. На касательной, проведенной через последнюю точку, откладывают отрезок равный, 2pR, и делят на 12 частей. 5. На первой касательной откладывают 1/12 отрезка на второй 2/12 и т.д.
Популярное: Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (1087)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |