Метод включения-исключения
Пусть имеется множество элементов и пусть имеется множество свойств , которыми элементы могут обладать или нет. Пусть — число элементов, обладающих свойствами . Пусть обозначаетчислоэлементов, обладающих ровно свойствами. Теорема. = Доказательство. 1. Рассмотрим элемент обладающий ровно свойствами. Такой элемент войдет в только при и в сумме будетсчитаться единственный раз. Поэтому элементы, обладающиеровно свойствами, будут входить в сумму по одному разу. 2. Рассмотрим элемент обладающий ровно свойствами, .Тогда в они будут входить при а в они войдут раз. Тогда общее число вхождений такого элемента есть Таким образом, из 1 и 2 следует требуемое свойство. Пример 1. Подсчитать число перестановок, оставляющих на месте ровно элементов. Решение. Вводим множество всех перестановок элементов . Вводим n свойств : -тый элемент при перестановке остается на месте. Тогда число перестановок, оставляющих на месте ровно элементов, есть: где N( ) — число перестановок, оставляющих на месте -ый, -ой,…, -ый элементы, и это число есть очевидно, (n-k)!, а число слагаемых в сумме есть . Поэтому искомое число есть Здесь И при больших получим ассимтотическую формулу Пример 2. Найти число чисел взаимно простых с данным . Обозначим это число через (так называемая функция Эйлера). Решение. Введем множество натуральных чисел 1, 2,..., т и введем свойства , где означает, что число делится на простое число . Тогда числа взаимно простые с т есть числа, которые не обладают ни одним из свойств , т.е. обладают 0 свойствами, и поэтому искомое число есть где есть число чисел, делящихсяна , и поэтому это числа, представленные в виде где множитель h изменяется 1,2, Поэтому = и тогда = =
Пример 3. Найти число способов раскладки m различных шаров по n различным урнам, при которых ровно урн пусты. Решение. Введем множество различных раскладок m различных шаров по n различным урнам, т.е. упорядоченных наборов m элементов из множества {1,2,..., n} n-элементов с возможными повторениями. Введем свойства раскладок . — i-ая урна пуста. Тогда искомое число есть — ровноурн пусты.
— число раскладок, при которых ая, ая, ая урны пусты и это число, как нетрудно видеть, есть .Поэтому Упражнения. 1. Имеется колода карт четырех мастей по n карт каждой масти. Берут карт. Найти число комбинаций, в которых имеются все масти. 2. Бросают различных игральных кубиков.Найти число комбинаций, когда имеются все цифры. 3. Найти число квадратных двоичных матриц размера n n, в каждой строке которых содержится хотя бы один ноль. 4. Найти число двоичных матриц размера n в строках, которых содержатся все двоичные слова длины m. 5. Составляют n-значные числа из цифр 1,2,3,4. Найти число чисел, в которых имеются все цифры.
Популярное: Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (792)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |