Методические указания к выполнению задания

Задание:Для балки, изображенной на рисунке 2.1, а, построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов. Из расчета на прочность по нормальным напряжениям подобрать номер двутавра. Проверить прочность выбранного двутавра по главным напряжениям, используя третью теорию прочности. Построить изогнутую ось балки.

Исходные данные: F=60 кН; M=70 кНм; q=40 кН/м; а=1 м; b=3 м; с=2 м; [σ]=155 МПа.

Рисунок 2.1 - Схема балки, эпюр поперечных сил и изгибающих моментов

Решение:

1. Определим реакции опор и , составив для этого условия равновесия:

;

;

.

2. Сделаем проверку:

Реакции найдены правильно.

3. Построение эпюр.

Для построения эпюр разобьём балку на три участка и составим уравнение для Q и М.

I участок:

При z=0

При z=a

II участок: .

При z=a

При z=a+b

III участок: .

.

При z₁=0

.

При z₁=с

.

На этом участке график поперечной силы пересекает ось эпюры (рис. 2.1, б). Следовательно, в точке, где , изгибающий момент имеет экстремум. Найдём его. Из условия получаем:

Изгибающий момент при z₁=0,85:

.

По этим данным строим эпюру поперечных сил (рис. 2.1, б) и изгибающих моментов (рис. 2.1, в).

4. Подберём сечение балки. Наибольший изгибающий момент (рисунок 2.1, в) равен 84,45 кН∙м. Необходимый момент сопротивления:

По таблицам сортамента (приложение В) ближайшими к этому значению являются W_х=518 cм³(двутавр №30а) и W_х=597 cм³ (двутавр №33).

5. Проверим, годится ли двутавр №30а. Напряжения в нём будут равны:

То есть перенапряжение составляет:

что допустимо.

Рисунок 2.2 Схема сечения двутавра.

Таким образом, в соответствии с расчётом по нормальным напряжениям следует принять двутавр №30а. Обратим, однако, внимание на то, что сечении над левой опорой балки действуют одновременно значительный изгибающий момент М=80 кН∙м и большая поперечная (перерезывающая) сила Q=100 кН (рис. 2.1). Поэтому в этом сечении надо сделать проверку по главным напряжениям.

6. Проверим условие прочности по третьей теории прочности. Из таблиц сортамента выпишем для двутавра №30а: I_х=7780 см⁴; h=300 мм; t=10,7 мм; d=6,5 мм.

Тогда в точке К сечения (рис. 2.2)

.

Согласно третьей теории прочности должно выполняться условие:

.

В нашем случае:

.

7. Определим перенапряжение в точке К.

Перенапряжение составляет:

что недопустимо велико (более 5%).

Таким образом, надо использовать двутавр большего размера. Окончательно принимаем двутавр №33.

Таблица 2 - Номера вариантов и исходные данные