Решение задач по 1 и 2 алгоритмам

Задача №55

Построить проекции точки пересечения прямой с поверхностью: в Ç D.

Алгоритм построения.

в - фронтально проецирующая прямая.

D - конус вращения (поверхность непроецирующая)

1) в ^^ П₂ Þ в₂ = К₂

2) К₁ Î D

Горизонтальную проекцию К₁ можно построить двумя способами:

1 способ: точка К принадлежит образующей SA(S₂A₂ Þ S₁A₁)

2 способ: точка К принадлежит параллели с(с₂ Þ с₁)

3) Определяем видимость прямой и поверхности конуса на П₁.

4) На П₂ при данном расположении конуса все точки видимы, в т. ч. и К₂.

 

Задача №57

Построить проекции линии пересечения заданных плоскостей: S Ç Г(а || b) = m.

Алгоритм построения.

SÇГ(a || b) = m(прямая); 2 ГПЗ, 2 алг.

1) S ^^ П₁ Þ m₁ =S₁

2) m₂ Ì Г

a₁ Ç m₁ = 1₁ Þ 1₂ ; b₁ Ç m₁ = 2₁ Þ 2₂ Þ m₂

На П₂ отрезок 1₂2₂(m₂) будет фронтальной проекцией линии пересечения.

 

Задача №58

Построить проекции линии пересечения поверхностей с плоскостью: S Ç Г = m; L Ç Г = l¹,l²

 

Построения проводим для каждой поверхности отдельно:

1. Цилиндрическая поверхность L Ç Г = l¹,l² (2 образующие цилиндра). Это 2 ГПЗ. Случай, когда обе фигуры проецирующие, но относительно одной и той же плоскости проекций (см. М3, стр. 24). Поэтому решаем эту часть задачи по 2 алгоритму.

Г - горизонтально проецирующая плоскость;

L - горизонтально проецирующая поверхность.

Общим элементом пересечения будут являться две образующие l¹ и l² – горизонтально проецирующие прямые.

 

Г ^^ П₁; L ^^ П₁ Þ l¹₁ и l²₁ - точки

Находим фронтальные проекции образующих l(l¹,l ²) по принадлежности L, с учётом видимости.

2. Конус S Ç Г = m (гипербола); 2 ГПЗ, 2 алг.

Эту задачу решаем точно так же, как описано в М3 стр.13.

Г || П₁ Þ m = Г₁

На m₁ возьмём 7 точек и строим их, как описано в М3-13.

а) Точки 1(1₁,1₂) и 7(7₁,7₂) расположены на основании конуса; точка 5(5₁,5₂) - на очерковой образующей конуса, она определяет видимость гиперболы относительно П₂, так как расположена в плоскости фронтального меридиана;

б) Точка 4(4₁,4₂) - вершина гиперболы (4₁ - ближайшая к центру вращения);

в) Точка 2(2₁,2₂) и 6(6₁,6₂) - промежуточные, лежат на одной параллели; точка 3(3₁,3₂) - промежуточная, лежит на одной параллели с точкой 5(5₁,5₂).

г) Строим m₂ с учётом видимости.

Общий вид решения задачи:

 

Задача №60

Построить три проекции шара со сквозным отверстием.

Эта задача является аналогом задачи, рассмотренной в М3, стр. 14-15, с той разницей, что в М3 пересекаются поверхности сферы и призмы, а в данной задаче - тело шара с призматическим вырезом; кроме того, в М3 призма – горизонтально проецирующая, а в данной задаче вырез имеет форму фронтально проецирующей призмы. Однако, принцип решения тот же.

Сквозное отверстие представляет собой фронтально проецирующую трехгранную призму. Каждая грань - это секущая плоскость на шаре.

Алгоритм построения разделим на три этапа:

1. Сечение шара плоскостью S(S₂)

2. Сечение шара плоскостью D(D₂)

3. Сечение шара плоскостью Г(Г₂)

Этап.

S(S₂) - фронтально проецирующая пл-ть. При сечении этой плоскостью шара получаем кривую - эллипс на П₁ и на П₃.

На S₂ возьмём 7 точек. Построения на П₁ начинаем с характерных точек:

точка 1(1₂) принадлежит фронтальному меридиану Þ 1₁;

точка 3(3₂) принадлежит экватору и определяет видимость эллипса на П₁ Þ 3₁.

Так как эллипс на П₁ симметричен относительно плоскости фронтального меридиана, то точки на П₁ будем обозначать только в одной полусфере.

Находим эти точки на П₃. Точка 1(1₂) принадлежит профильному меридиану Þ 1₃ (относительно П₃ – это характерная точка).

Достроив остальные профильные проекции точек с учетом видимости, соединим их, получим кривую неполного эллипса..

Этап

D(D₂) - горизонтальная плоскость уровня создает при сечении шара неполную окружность на П₁ - невидимую, а на П₃ окружность проецируется в прямую, видимую от точки 1₃ до точки 10₃ и невидимую часть от 10₃ до 9₃.

Этап

Г(Г₂) - профильная плоскость уровня при сечении шара создает:

на П₃ - неполную окружность (невидимую);

на П₁ проецируется в два отрезка видимых от 7₁ до 8₁ и невидимых от 8₁ до 9₁.

Уточняем контур видимых линий на П₁ и П₂.

Этап

Г(Г₂) - профильная плоскость уровня при сечении шара создает:

на П₃ - неполную окружность (невидимую);

на П₁ проецируется в два отрезка видимых от 7₁ до 8₁ и невидимых от 8₁ до 9₁.

Уточняем контур видимых линий на П₁ и П₃.

 

Задача №61

Построить проекции линии пересечения поверхностей: S Ç L = m.

Алгоритм решения

Пересекаются два цилиндра Þ это 2 ГПЗ, характер пересечения - вмятие Þ общий элемент - одна пространственная кривая m. Цилиндр - профильно проецирующий, цилиндр – общего положения Þ решаем по 2 алгоритму: S ^^ П₃ Þ m₃ = S₃; m₂ Ì L

1. На m₃ возьмём несколько точек

2. Точки 1(1₃) и 5(5₃) принадлежат профильным образующим цилиндра L Þ 1₂, 5₂ (невидима).

3. Точки 2(2₃ и 2₃') принадлежат фронтальному меридиану цилиндра S и определяют видимость кривой m относительно П₂ Þ 2₂, 2₂'.

4. Построение фронтальных проекций точек 3₂, 3₂’, 4₂, 4₂’, которые на П₂ будут невидимыми.

5. На П₂ соединим точки с учетом видимости и получим фронтальную проекцию кривой m₂.

 

Задача №64

Построить проекции линии пересечения поверхности призмы Ф(Ф₁,Ф₂) с плоскостью Г(h Ç f).

Результат пересечения - треугольник АВС.

Алгоритм решения:

Призма - горизонтально проецирующая, плоскость - общего положения Þ 2 ГПЗ, 2 алг.

Ф ^^ П₁ Þ А₁В₁С₁ = Ф₁. А₂В₂С₂ Ì Г.

Задача имеет несколько вариантов решения. Выберем самый оптимальный.

1. Сторона треугольника АС(А₁С₁) пересекается с горизонталью и фронталью плоскости Г в точках 1(1₁) и 2(2₁) Þ 1₂ и 2₂, проведём через эти точки А₂С₂.

2. В₁С₁ || f₁ Þ B₂C₂ || f₂, проводим В₂С₂ с учётом видимости. Грань, на которой расположена сторона ВС, на П₂ невидима Þ В₂С₂ - невидима.

3. По тем же причинам невидима сторона А₂В₂.

Подумайте, как можно ещё решить эту задачу. Сколько способов решения вы насчитали?

 

Задача №67

Построить проекции линии пересечения цилиндра с поверхностью полукольца: Г Ç Ф = в.

Пересекаются две поверхности вращения Þ результат пересечения - пространственная кривая; характер пересечения - вмятие Þ кривая линия - одна.

Алгоритм решения

Г Ç Ф = в, 2 ГПЗ

Г ^ П₁, Ф – непроецирующая Þ 2 алгоритм

Г ^^ П₁ Þ в₁ = Г_1; в₂ Ì Ф

На проекции кривой в₁ возьмём несколько точек. Видимость проекций этих точек на П₂ определяется плоскостью фронтального меридиана цилиндра.

1. Точки 1(1₁) и 2(2₁) принадлежат ближней параллели полукольца радиусом R’ Þ 1₂ и 2₂ находим без дополнительных построений по принадлежности этой параллели. 1₂ и 2₂ - видимые.

2. Точки 5₁ и 6₁ (видимые на П₁) принадлежат окружности R-экватору, на П₂ точки 5₂ и 6₂ не видны; точки 5₁’ и 6₁’(невидимы на П₁) лежат на окружности горла r, на П₂ точки 5₂’ и 6₂’ - невидимые.

Обратите внимание! Мы построили проекции точек, лежащих на главных параллелях полукольца без вспомогательных построений, пользуясь только линиями связи.

3. Горизонтальные проекции точек 3₁, 3₁’, 4₁, 4₁’ лежат в плоскости фронтального меридиана цилиндра, которая является границей видимости линии пересечения относительно П₂. Проведем параллели через эти точки: радиусом R - для точек 3₁ и 4₁; радиусом r - для точек 3₁’ и 4₁’.

На П₂ на пересечении параллелей и линий связи получим фронтальные проекции этих точек, которые будут видимыми.

4. Точки 7₁ и 7₁’ лежат на параллелях тех же радиусов, но на П₂ будут невидимы.

5. С учетом видимости проекций точек на П₂ проведем кривую - фронтальную проекцию линии пересечения полукольца и цилиндра – в₂.

6. На П₂ окончательный этап построения заключается в обводке видимого и невидимого контуров полукольца и цилиндра.

 

Задача №71

Построить проекции точек пересечения прямой с поверхностью: d Ç W = А,В.

Алгоритм построения.

d Ç W = А,В ( две точки ) 1 ГПЗ, 3 алгоритм

1. Для решения задачи необходимо взять вспомогательную плоскость - посредник S.

S ^^ П₂; S É d ÞS_{2 =} d₂

2. Теперь в пересечении участвуют плоскость S и поверхностьW, причем плоскость - фронтально проецирующая.

S Ç W = в (плоская кривая второго порядка - эллипс.) 2 ГПЗ, 2 алгоритм.

S ^^ П₂ Þ в₂ = S₂; в₁ Ì W

Построение горизонтальной проекции кривой в₁:

а) На П₂ плоскость - посредник S₂ пересекает проекции всех образующих цилиндра. Сначала построим точки на очерковых образующих цилиндра - 1(1₂) и 2(2₂). Находим горизонтальные проекции образующих с учетом видимости и соответствующие проекции точек на них - 1₁ и 2₁.

Обратите внимание: точка 2₁ должна быть невидимой, но нам она видна через верхнее отверстие, т.к. у цилиндрической поверхности нет плоскостей оснований.

б) Видимость относительно П₁ определяется точками, лежащими на образующих АА’, ВВ’.

Чтобы найти эти точки, произведём следующее:

1. Определим положение этих образующих на П₂;

2. Найдём точки пересечения этих образующих с S₂: 4₂, 4₂’, 5₂, 5₂’.

3. Находим горизонтальные проекции этих точек: 4₁ и 5₁’ - вершинные точки, лежащие на очерковых образующих, и 4₁’ и (5₁), лежащие на промежуточных образующих.

4. Таким образом, видимость относительно П₁ определится участком цилиндра от образующей АА’(А₂А₂’) до ВВ’(В₂В₂’) через СС’(С₂С₂’).

в) Для построения кривой в₁ - эллипса найденных точек недостаточно, поэтому на П₂ возьмем произвольно еще 3 пары точек: 3(3₂, 3₂’), 6(6₂, 6₂’) и 7(7₂, 7₂’).

На П₁ точки 3₁’, 6₁ и 6₁’ будут видимые;

точки 3₁ и 7₁’ - невидимые,

точка 7₁ - видимая через отверстие сверху.

г) С учетом видимости на П₁ соединим точки и получим кривую в₁

3. Там, где в₁ Ç d₁ = А₁,В₁ причем точка В₁ - невидимая.С помощью линий связи находим фронтальные проекции точек А₂,В₂, причем, точка В₂ - невидима.

4. Уточняем видимость прямой d на П₁ и П₂. Горизонтальная проекция прямой d₁ до точки А₁ - видимая, внутри невидимая и будет видна только после очерковой цилиндра. Видимость фронтальной проекции прямой d : от точки А₂ до 2₂ - не видна.

 

Задача №73

Построить проекции линии пересечения:

АВС Ç DEF = MN (прямая) 2 ГПЗ, 3 алгоритм.

MN - прямая, для построения которой необходимо иметь две точки, поэтому возьмём две плоскости-посредника: Г₂ и Г₂’, которые выгодно провести через две стороны любого из треугольников. Проведём Г(Г₂) через сторону DF(D₂F₂).

Алгоритм построения

1. Г Ç АВС = 1,2 (прямая) 2 ГПЗ, 2 алгоритм.

Г ^^ П₂ Þ 1₂,2₂ = Г₂

1₁, 2₁ Ì АВС.

Там, где 1₁, 2₁ Ç D₁F₁ = M₁ Þ M₂ Ì D₂F₂

Определили первую точку М(М₁,М₂)

2. Нахождение второй точки N(N₁, N₂)

Г’(Г₂’) = ЕF(E₂F₂);

Г’ Ç АВС = 3,4 (прямая)

2 ГПЗ, 2 алгоритм

Г’ ^^ П₂ Þ 3₂, 4₂ = Г₂’

3₁4₁ Ì АBC.

Там, где 3₁,4₁ Ç E₁F₁ = N₁ Þ N₂ Ì E₂F₂

Линия пересечения фигур MN - построена. Следующий этап решения - видимость пересекающихся плоскостей. Возьмём фронтально конкурирующие точки 1 и 5 и определим видимость D₂M_2. На П₁ точка 5₁ расположена ближе точки 1₁, следовательно, D₂M₂ - видимая, а также видна E₂N₂

Для определения видимости на П₁ отрезков Е₁N₁ и скрещивающегося с ним А₁С₁ достаточно посмотреть на П₂ по стрелке Л: прямая Е₂N₂ выше, чем прямая А₂С₂, следовательно, отрезок Е₁N₁, а также и отрезок D₁М₁ - видимые.

 

Задача №76

Построить проекции линии пересечения поверхностей вращения: D Ç L= m,n.

Алгоритм построения

D Ç L = m,n (2 плоские кривые-эллипсы) (по теореме Монжа)

А и В - точки двойного соприкосновения.

1. Построение горизонтальной проекции эллипса – n₁. На П₂ на линии n₂ возьмем несколько точек и найдем их горизонтальные проекции по принадлежности конусу D.

С учетом видимости соединим точки плавной кривой Þ n₁.

2. Построение горизонтальной проекции эллипса – m₁. Возьмём на m₂ несколько точек и найдем их горизонтальные проекции по принадлежности конусу D. Соединяя их с учетом видимости, построим m₁

Внимание! Построение эллипсов на конусе подробно описано в М3, стр. М3-10, М3-11.

 

Задача №78

Построить три проекции конуса с призматическим вырезом, на виде слева совместить половину вида с половиной разреза.

 

 

Модуль №4

Метрические задачи

Задачи в рабочей тетради на странице 37 графически решаются просто. Такие задачи приводятся для того, чтобы Вы обратили особое внимание на их решение, т.к. в дальнейших сложных (конструктивных) задачах эти решения будут определять "решающее положение оригинала" (Модуль 4, ст. 23).

Задачи на определение расстояний между геометрическими фигурами (Модуль 4, стр. 8)

К таким задачам относятся: задачи на определение расстояний от точки до прямой, до плоскости, до поверхности; между параллельными и скрещивающимися прямыми; между параллельными плоскостями и т. п.

Все эти задачи объединяют три обстоятельства:

во-первых, поскольку кратчайшим расстоянием между такими фигурами является перпендикуляр, то все они сводятся к построению взаимно перпендикулярных прямой и плоскости.

во-вторых, в каждой из этих задач необходимо определять натуральную длину отрезка, то есть решать вторую основную метрическую задачу.

в-третьих, это сложные по составу задачи, они решаются в несколько этапов, и на каждом этапе решается отдельная, небольшая конкретная задача.

 

Задача №81

Определить расстояние между прямыми. Прямые а и в занимают положение горизонтально проецирующих прямых

Расстояние между прямыми - это перпендикуляр n(n₁,n₂).

n - горизонталь, т.к. а и в ^ П₁, но n ^ а и в, значит n || П₁.

Решающее положение для определения расстояния между параллельными прямыми.

Горизонтальная проекция n Þ n₁ есть искомая величина, т.к. перпендикуляр занимает положение горизонтали.

 

Задача №82

Определить расстояние между прямыми. Прямые с и d параллельны и занимают положение фронталей.

Расстояние между прямыми - это перпендикуляр n(n₁,n₂).

Начинаем построение с n₂ (теорема о проецировании прямого угла), n₂ ^ с_2, d₂ Þ n₁

Натуральной величины на чертеже нет, т.к. n(n₁,n₂) – прямая общего положения

Определяем n методом прямоугольного треугольника.

 

Задача №83

Определить расстояние между прямыми. Прямые: l - горизонтально проецирующая, m - общего положения.

Расстояние между прямыми - это перпендикуляр n(n₁,n₂).

Т.к. l ^^ П₁, то перпендикуляр к ней - есть горизонталь, и по теореме о проецировании прямого угла проводим n₁ ^ m₁, n Ç m Þ 1(1₁).

Решающее положение для определения расстояния между прямыми.

Горизонтальная проекция n Þ n₁ есть искомая величина.

 

Задача №84

Определить расстояние от точки до прямой:

Расстояние между точкой и прямой - это перпендикуляр n(n₁,n₂).

Решающее положение для определения расстояния между точкой и прямой.

Горизонтальная проекция n Þ n₁ есть искомая величина, т.к. перпендикуляр занимает положение горизонтали (аналогично заданию №81)

 

Задача №85

Определить расстояние от точки до прямой

Расстояние между прямыми - это перпендикуляр n(n₁,n₂).

Начинаем построение с n₂,т.к. f || П₁, n₂ ^ f₂ (теорема о проецировании прямого угла).

На чертеже нет натуральной величины n, т.к. n(n₁,n₂) – прямая общего положения

Определяем | n | методом прямоугольного треугольника.

Просмотрите решенные задачи, назовите номера задач, в которых сразу получается "решающее положение", без дополнительных построений. Алгоритм решения написать самостоятельно (Модуль 4).

 

Задача №86

Построить сферу с центром в точке О, касательную к прямой h.

Если найти точку касания сферы с прямой h(h₁,h₂) и соединить ее с центром О(О₁,О₂), то этот отрезок определит радиус R(R₁,R₂) сферы. Кратчайшее расстояние определяется перпендикуляром, следовательно, проводим R ^ h (R₁ ^ h₁).

OK = R - прямая общего положения, поэтому на П₁ и П₂ радиус спроецировался с искажением

Методом прямоугольного треугольника определяем натуральную величину R(ОК) Þ О₁К₀.

Построить проекции сферы, замерив полученное значение R(О₁К₀).

 

Задача №87

Через точку М провести прямую n ^ S(h || k)

Взаимная перпендикулярность прямой и плоскости подробно рассмотрена в Модуле 4, стр. 2,3,4.

n ^ S Þ n₁ ^ h₁; n₂ ^ f₂

S - плоскость общего положения, но задана двумя параллельными горизонталями, поэтому сразу можно построить через точку М₁ Î n₁, n₁ ^ h₁.

В любом месте построить f(f₁,f₂), принадлежащую плоскости S, затем через М₂Î n₂ провести n₂ ^ f₂

 

Задача №88

Задачу решить самостоятельно, построив сначала h и f Ì S, затем n₁ ^ h₁, n₂ ^ f₂

Задача №89

Определить расстояние от точки М до плоскости S(h Ç f).

Как уже отмечалось (М4 -8), это сложные по составу задачи, они решаются в несколько этапов, и на каждом этапе решается отдельная, небольшая конкретная задача.

В данном случае, эта графически сложная задача состоит из трех задач, которые встречались Вам раньше:

1) Из точки М построить n ^ S (задания №87, 88);

2) Найти точку пересечения n Ç S Þ К (первая ГПЗ по 3 алгоритму);

3) S - плоскость общего положения, следовательно, n - прямая общего положения (М4-2,3).

Методом прямоугольного треугольника найти | n | (задания №82,85,86)

Из точки М провести перпендикуляр к плоскости S: т.е. n₁ ^ h₁; n₂ ^ f₂

Построить точку пересечения n Ç S Þ К, 1 ГПЗ 3алгоритм.

Г - плоскость посредник, Г ^^ П₂, nÉ Г Þ Г₂ = n₂

Г Ç S = 1,2 (прямая) 2 ГПЗ 2 алгоритм,

1₁2₁ Ç n₁ Þ К₁, К Î n Þ К₂.

МК - искомый отрезок.

МК - отрезок общего положения. |МК| = М₂К₀ - натуральная величина.

 

Задача №90

Определить расстояние от точки М до плоскости S(S₂).

Если плоскость S занимает проецирующее положение, то прямая, перпендикулярная ей, является линией уровня (М4-3).

Т.к. S || П₂, то n ^ S - фронталь Þ n₂ ^ S₂; n₁ ^ линии связи.

Построить h,f Ì S (задача №27)

Решающее положение для определения расстояния между точкой и плоскостью.

Построить n₁ ^ h₁, n₂ ^ f₂

|МК| = М₂К₂ - натуральная величина расстояния от точки до плоскости.

 

Задача №91

Построить все множество точек, одинаково удаленных от точек А и В.

Все множество точек, равноудаленных от двух точек (А и В), это плоскость, например, S (DMND), проведенная через середину (точка С Þ АС = СВ) расстояния между ними, S ^ АВ

Соединим точки А и В, разделим пополам графически (циркулем).

Построим через точку С плоскость S(h Ç f), h₁ ^ А₁В₁, f₂ ^ A₂B₂.

 

Задача №92

Определить расстояние от точки В до прямой а.

В этой задаче нужно построить перпендикуляр к прямой общего положения. (М4 - 4. Взаимная перпендикулярность двух прямых общего положения).

Этапы решения:

1) Из точки В построить S(h Ç f) ^ а (задание №91);

2) Найти точку пересечения а Ç S Þ К (первая ГПЗ по 3 алгоритму) (задание №89);

3) а - прямая общего положения, следовательно, n (ВК) - прямая общего (М4-4) положения. Методом прямоугольного треугольника найти |ВК| (задания №82,85,86)

Построим плоскость S(h Ç f) ^ а, причем h₁ ^ а₁; f₂ ^a₂.

Решить задачу:

S Ç а = К Þ 1 ГПЗ, 3 алгоритм, см. задачу № 89.

ВК - отрезок общего положения. |ВК| = В₁К₀ - натуральная величина.

 

Задача №93

Через прямую m провести плоскость Г, перпендикулярную заданной плоскости S.

Известно, что две плоскости взаимно перпендикулярны, если в одной из них лежит прямая, перпендикулярная другой плоскости. Таким образом, построение взаимно перпендикулярных плоскостей общего положения сводится к построению взаимно перпендикулярных прямой и плоскости (М4-5).

В плоскости S построить в любом месте фронталь и горизонталь - h,f Ì (а Ç в)

Построить Г ^ S, Г = m Ç n = K. Через точку К провести n ^ S Þ n₁ ^ h₁, n₂ ^ f₂.

 

Задача №95

Построить конус вращения, если S - его вершина, а точка М принадлежит основанию, расположенному в плоскости S.

Чтобы решить задачу, сначала нужно построить ось вращения конуса i(i₁i₂) перпендикулярно основанию. Но основание принадлежит S, значит i ^ S, но S ^^ П₁, то ось i - прямая уровня (См. задание №90), в данном случае - горизонталь. Следовательно i₁ ^ S₁; i₂ ^ линиям связи Þ О₁ и О₂.

Провести i ^S Þ точка О. Полученное графическое решение соответствует графическому условию задачи №25, поэтому подробности дальнейшего решения не приводятся.