Устойчивость равновесия

Устойчивость равновесия - положение равновесия материальной системы, находящейся под влиянием каких-либо сил, может быть устойчивым или неустойчивым. В первом случае при достаточно малом отклонении системы в каком бы то ни было направлении силы стремятся вернуть систему к положению равновесия. В механике доказывается, что если силы, приложенные к системе, имеют потенциал, то те положения равновесия, в которых потенциал имеет максимум, суть положения устойчивого равновесия.

Система находится в положении механического равновесия, если её положение в конфигурационном пространстве – точка, в которой градиент потенциальной энергии равен нулю.

Приведём пример для системы с одной степенью свободы. В этом случае достаточным условием положения равновесия будет являться наличие локального экстремума в исследуемой точке. Как известно, условием локального экстремума дифференцируемой функции является равенство нулю её первой производной. Чтобы определить, когда эта точка является минимумом или максимумом, необходимо проанализировать её вторую производную. Устойчивость положения равновесия характеризуется следующими вариантами:

Положения равновесия

Рис.1.

• Вторая производная < 0: потенциальная энергия находится в состоянии локального максимума, это означает, что положение равновесия неустойчиво. Если система будет смещена на небольшое расстояние, то она продолжит своё движение за счёт сил, действующих на систему.
• Вторая производная = 0: в этой области энергия не варьируется, а положение равновесия является безразличным. Если система будет смещена на небольшое расстояние, она останется в новом положении.
• Вторая производная > 0: потенциальная энергия в состоянии локального минимума, положение равновесия устойчиво. Если систему сместить на небольшое расстояние, она вернётся назад в состояние равновесия.

Устойчивость упругих систем - свойство упругих систем возвращаться к состоянию равновесия после малых отклонений их из этого состояния. Понятие Устойчивость упругих систем тесно связано с общим понятием устойчивости движения или равновесия.

Физическим признаком устойчивости или неустойчивости формы равновесия служит поведение нагруженной упругой системы при её отклонении от рассматриваемого положения равновесия на некоторую малую величину. Если система, отклоненная от положения равновесия, возвращается в первоначальное положение после устранения причины, вызвавшей отклонение, то равновесие устойчиво. Если отклонение не исчезает, а продолжает расти, то равновесие неустойчиво. Нагрузка, при которой устойчивое равновесие переходит в неустойчивое, наз. критической нагрузкой, а состояние системы – критическим состоянием. Установление критических состояний и составляет основной предмет теории Устойчивость упругих систем.

Для прямого стержня, сжатого вдоль оси силой Р, значение критической силы Р_кр определяется формулой Эйлера

,

где Е — модуль упругости материала, I — момент инерции поперечного сечения, l – длина стержня, m — коэффициент, зависящий от условий закрепления концов. В случае двух шарнирных опор, одна из которых является неподвижной, а вторая – подвижной, m = 1.

Для прямоугольной пластинки, сжатой в одном направлении, критическое напряжение равно

,

где

– т. н. цилиндрическая жёсткость, b и h – ширина и толщина пластинки, n – Пуассона коэффициент материала, К – коэффициент, зависящий от условий закрепления краев и от отношения между размерами пластинки.

В случае круговой цилиндрической оболочки, сжатой вдоль оси, можно установить т. н. верхнее критическое напряжение

;

h и R – толщина и радиус кривизны срединной поверхности оболочки. Несколько иную структуру имеют формулы для верхнгео критического напряжения при действии поперечного давления или скручивающих пар. Потеря устойчивости реальных оболочек во многих случаях происходит при меньшей нагрузке вследствие значительного влияния различных факторов, особенно начальных неправильностей формы.

Для сложных конструкций точное решение затруднено, поэтому прибегают к различным приближённым методам. Для многих из них пользуются энергетическим критерием устойчивости, в котором рассматривается характер изменения потенциальной энергии П системы при малом отклонении её от положения равновесия (для устойчивого равновесия П = min). При рассмотрении неконсервативных систем, например стержня, сжатого силой, наклон которой меняется в процессе выпучивания (следящая сила), применяется динамический критерий, заключающийся в определении малых колебаний нагруженной системы. Важное значение имеет исследование т. н. закритического поведения упругих систем. Оно требует решения нелинейных краевых задач. Для стержня закритическая деформация оказывается возможной лишь при его очень большой гибкости. Напротив, для тонких пластинок вполне возможны значительные прогибы в закритической стадии – при условии, что края пластинки подкреплены жёсткими стержнями (стрингерами). Для оболочек закритическая деформация связана обычно с прощёлкиванием и потерей несущей способности конструкции.

Приведённые выше данные относятся к случаю, когда потеря Устойчивость упругих систем имеет место в пределах упругости материала. Для исследования Устойчивость упругих систем за пределами упругости пользуются пластичности теорией. Если нагрузка, приводящая к потере устойчивости, динамическая, необходимо учитывать силы инерции элементов конструкции, отвечающие характерным перемещениям. Чем более быстрым является нагружение, тем более выраженной оказывается форма выпучивания. При ударных нагрузках исследуются волновые процессы передачи усилий в конструкции. Если материал конструкции находится в состоянии ползучести, для определения критических параметров пользуются соотношениями теории ползучести.