Приведение плоской системы произвольно расположенных сил в пространстве к заданному центру

Если система сил не находится в равновесии, то она в общем случае приводится к одной силе и одной паре сил, а в частных случаях может быть приведена к одной силе (равнодествующей силе) или к одной паре сил.

Теорема о приведении системы сил:

Любая система сил, действующих на абсолютно твердое тело, может быть заменена одной силой R, равной главному вектору этой системы сил и приложенной к произвольно выбранному центру О, и одной парой сил с векторным моментом L_O, равным главному моменту системы сил относительно центра О.

Такая эквивалентная замена данной системы сил силой R и парой сил с моментом L_O называют приведением системы сил к центу О.

В результате приведения пространственной системы сил к произвольному центру О возможны следующие случаи, зависящие от векторов R и L_O:

1. если R = 0, L_O = 0, то заданная система является равновесной;

2. если хотя бы одна из величин R или L_O не равна нулю, то система сил не находится в равновесии.
При этом:

o Eсли R = 0 и L_O 0, то система сил приводится к одной паре сил с моментом L_O. В этом случае величина момента L_O не зависит от выбора центра О.

o Eсли R 0, L_O = 0, то система сил приводится к равнодействующей силе R^* = R, линия действия которой проходит через центр О.

o Eсли R 0, L_O 0 и эти векторы взаимно перпендикулярны, то система сил также приводится к равнодействующей силе R^* = R, но линия ее действия не проходит через центр О.
Пример
Математически условие перпендикулярности векторов R и L_O выражается равенством нулю их скалярного произведения:

R · L_O = R_x · L_Ox + R_y · L_Oy + R_z · L_Oz = 0.

В частности, этот случай будет всегда иметь место для любой системы параллельных сил и любой плоской системы сил, если главные векторы этих систем не равны нулю.

• Eсли R 0, L_O 0 и эти векторы параллельны, то система сил приводится к совокупности силы R и паре сил (P,P') c векторным моментом L_O (силыP, P' лежат в плоскости, перпендикулярной силе R, см.рис.).
  Такая совокупность силы и пары сил называется динамическим винтом, а прямая, вдоль которой направлены векторы R и L_O, называется осью винта.
  В этом случае дальнейшее упрощение системы сил невозможно, то есть ее нельзя привести к одной (равнодействующей) силе или к одной паре сил.
  Математически условие параллельности векторов R и L_O выражается равенством нулю их векторного произведения:

R L_O = 0,

или, другими словами, пропорциональностью их проекций:

R_x = k · L_Ox; R_y = k · L_Oy; R_z = k · L_Oz.

• Eсли R 0, L_O 0 и эти векторы не параллельны друг другу, то система сил также приводится к динамическому винту , но ось винта не будет проходить через точку О.