Формула полной вероятности и формулы Байеса
Своеобразным обобщением формул сложения и умножения вероятностей является формула полной вероятности. Суть в том, что часто бывает так, что опыт состоит из двух этапов. Пример 21. Имеются две урны. В первой находятся 2 белых и 5 красных шаров; во второй – 7 белых и 3 красных. Наугад выбирается урна и извлекается шар. Какова вероятность того, что извлеченный шар-красный? В этой задаче сначала требуется выбрать урну (первый этап), а уж затем извлечь шар (второй этап). Для решения подобных задач и применяется формула полной вероятности. Определение. Пусть событие А появляется вместе с событиями которые называются гипотезами, если они обладают двумя свойствами: 1) - в результате опыта какая-нибудь гипотеза осуществится обязательно, 2) - никакие две гипотезы вместе не происходят. Следовательно, в результате опыта осуществляется одна и только одна какая - нибудь гипотеза, т.е. Р( В примере 21 гипотезы: (выбирается я урна), Теорема (формула полной вероятности). Пусть событие может произойти с каждой из гипотез с условными вероятностями Тогда вероятность события в данном опыте (полная вероятность) вычисляется по формуле полной вероятности: (11) Пример 21. Его условие не переписываем. Вводим гипотезы (выбирается урна), Обозначим событие (извлекается красный шар). Из условия задачи ясно, что P(A/ =5/7, P(A/ )=3/10. Тогда по формуле полной вероятности Заметим, что полная вероятность Р(А) – это усреднённый показатель – она всегда находится между наименьшей и наибольшей условными вероятностями Р(А/ ). В примере 21: Важно отметить, что в данном примере хотя урны и неотличимы (вероятности выбора урн одинаковы), их вклад в полную вероятность различен – в 1-й урне доля красных шаров больше По этой причине, если стало известно, что событие произошло (извлечен красный шар), то у нас будет больше оснований считать, что шар вынут из 1-й урны (реализовалась гипотеза ). Другими словами, после получения дополнительной информации (событие произошло), априорные вероятности гипотез должны быть пересчитаны. Эти послеопытные вероятности гипотез (апостериорные вероятности) пересчитываются по формулам Байеса: = , (12) Пример 22. Студенты группы по-разному подготовились к экзамену: 6 человек подготовились отлично (знают все 20 вопросов программы); 8 человек подготовились хорошо (знают 16 вопросов программы); 4 человека подготовились средне (знают 10 вопросов программы); 2 студента подготовились плохо (знают 5 вопросов программы). На экзамене студент получает 2 вопроса. Определить вероятность того, что студент, ответивший на оба вопроса, является а) отличником; б) хорошистом; в) середняком; г) плохо успевающим студентом? Решение. Обозначим событие {студент ответил на оба вопроса}, вводим гипотезы: {студент – отличник}, {студент- хорошист}; ={студент – середняк}; {студент является плохо успевающим}. Т.к. в группе всего 20 студентов, то по условию задачи Проверяем: Для формул Байеса сначала надо вычислить полную вероятность. Вычислим условные вероятности: т.к. отличники знают все вопросы. . Следовательно, Как видим, из четырёх слагаемых, дающих сумму 0,605, вклад наибольший у первого и второго. Вычислим по формулам Байеса апостериорные (условные) вероятности гипотез:
Проверяем: . Видим, что вероятности гипотез сильно перераспределились: до опыта на первые две гипотезы приходилось 0,3+0,4 =0,7, а после опыта 0,446 +0,418 = =0,914. Вместе с тем при заданном уровне подготовки к экзамену, если студент ответил на оба вопроса билета, то вероятность того, что этот студент – отличник (и ему надо ставить отличную оценку?) равна лишь 0,496 (меньше 50%) и для хорошиста – 0,418. Правда, для двоечника такая вероятность совсем малая – 0,008. В любом случае у преподавателя лучший выход для объективной оценки – задавать дополнительные вопросы. Пример 23. В ящике лежат 25 теннисных мячей – 20 новых и 5 играных. Для игры наудачу выбирают 4 мяча и после игры возвращают в ящик. Затем для второй игры также наудачу берут 2 мяча. Какова вероятность, что вторая игра будет проводиться старыми мячами? Решение. Вводим гипотезы = {для первой игры взято i старых мяча}, i = 0,1,2,3,4. Найдём вероятности гипотез по формулам комбинаторики. Проверяем: Далее обозначаем событие А = {вторая игра будет проводиться старыми мячами} и вычисляем условные вероятности Если осуществилась гипотеза то для первой игры взято ноль старых мячей, т.е. 4 новых и для второй игры эти мячи уже будут играными – из 25 мячей новых станет 16 и 9 играных, поэтому Аналогично, По формуле полной вероятности получаем = +
Популярное: Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (832)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |