Случайные величины (СВ)

В предыдущих параграфах были рассмотрены случайные события. Однако следует сказать, что основным понятием теории вероятности является понятие случайной величины (СВ). Дадим следующие нестрогое определение. Случайной величиной будем называть переменную величину, которая в результате опыта может принимать значения (заранее не известно какие) из некоторого диапазона.

Пример 29. Число зёрен в колосе пшеницы.

Пример 30. Продолжительность безотказной работы приборов, изготавливаемых на некотором предприятии.

Пример 31. Выработка рабочих некоторого цеха в процентах к предыдущему отчётному сроку.

Пример 32. Вес осколка снаряда.

Пример 33. Количество бракованных изделий в партии деталей.

Пример 34. Число пассажиров в автобусе.

Число таких примеров можно множить сколько угодно. Из приведённых примеров видно, что СВ бывают дискретными (ДСВ) и непрерывными (НСВ). Значения, которые принимает ДСВ, отстоят друг от друга на некотором расстоянии, т.е. в интервале между двумя соседними значениями ДСВ нет других значений этой ДСВ (примеры 29, 33, 34). Значения НСВ сплошь заполняют некоторый интервал, т.е. в этом интервале (диапазоне) мы не можем «запретить» случайной величине принять любое значение (примеры 30-32).

Полную информацию случайным величинам доставляют их законы распределения, под которыми понимают соотношения между значениями, которые могут принимать СВ и соответствующими вероятностями. Как увидим в дальнейшем, принципиальной разницы между ДСВ и НСВ не существует, хотя математическое их описание часто различается. Поэтому начнём изучение СВ раздельно. Случайные величины будем обозначать греческими буквами а их значения буквами ..

Ряд распределения ДСВ

ДСВ может принимать конечное число значений (см. примеры предыдущего параграфа), а также и бесконечное, но счётное, число значений, т.е. их можно пересчитать (пронумеровать). В дальнейшем чаще (для кратности записи) будем рассматривать ДСВ с конечным числом значений.

Итак, пусть ДСВ принимает n значений; расположим их в порядке возрастания и составим следующую таблицу:

			…
			…

В этой таблице в верхней строке перечислены в порядке возрастания все значения ДСВ, а во второй строке – соответствующие вероятности случайных событий , т.е. . Таким образом, ДСВ состоит из нескольких случайных событий .

Поскольку в верхней строке перечислены все значения ДСВ, а в результате опыта принимается какое-нибудь одно значение, то события попарно несовместные. Следовательно, обязательно выполняется условие .Так построенная таблица называется рядом распределения ДСВ. Ряд распределения ДСВ изображается графически в виде многоугольника распределения – фигуры, состоящей из точек и для наглядности соединённых отрезками (рис. 10).

P P

3/8

1/8

x 0 1 2 3 x

Рис. 1 0 Рис.11

Пример 35. Монета подбрасывается три раза. Построить ряд и многоугольник распределения числа появлений герба.

Решение. Введём ДСВ (число появлений герба при трёх подбрасываниях монеты). Ясно, что может принимать значения 0,1,2,3 и соответствующие вероятности вычисляются по формуле Бернулли:

Таким образом, ряд распределения имеет вид:

	1/8	3/8	3/8	1/8

Многоугольник распределения изображён на рис.11.

Поскольку ряд распределения является законом распределения, т.е. несёт полную информацию о ДСВ, то с его помощью можно вычислить любую вероятность. Например, вероятность того, что число гербов при трёх подбрасываниях монеты будет не менее одного, равна