Система с нагруженным резервом

Рис. 3. Схема надежности невосстанавливаемой резервированной системы с дробной кратностью с нагруженным резервом

Основными являются элементы 1 – 4, элементы 5 - 6-нагруженный резерв.

Т.к. система невосстанавливаемая, отказавший элемент не может быть восстановлен. Резерв является нагруженным, поэтому резервные элементы имеют интенсивность отказов λ.

Система отказывает, когда выходит из строя какой-либо из основных элементов, если при этом нет исправных резервных элементов для его замены.

Построим вероятностный граф состояний. Состояние системы – количество неисправных элементов.

0 1 2 3

 

Рис. 4. Граф состояний системы

Рабочими для системы являются состояния с 0 по 2, состоянием отказа системы является состояние 3.

Найдем критерии надежности системы методом дифференциальных уравнений.

Система дифференциальных уравнений, соответствующая графу состояний системы, имеет вид:

Нормировочное условие:

 

 

Начальные условия для системы дифференциальных уравнений:

P₀(0)=1

P₁(0)=0

P₂(0)=0

P₃(0)=0

При расчете методом дифференциальных уравнений, после применения прямого преобразования Лапласа при начальных условиях система принимает вид:

Решим полученную систему дифференциальных уравнений:

После применения обратного преобразования Лапласа:

 

 

Вероятность безотказной работы системы равна:

P_сист = 1-P₃(t)=

Среднее время безотказной работы:

Найдем критерии надежности данной системы методом интегральных уравнений.

Рассмотрим события, которые могут произойти с системой на отрезке времени t:

1.Цепь отработала успешно все время t с интенсивностью отказов 6λ.Ни один из элементов не отказал.

Вероятность успешной работы:

2. Цепь отработала без отказа время τ с интенсивностью 6λ, после чего продолжала работать оставшееся время t-τ без отказа с интенсивностью отказов 5λ.

Вероятность отказа системы во время τ:

λ

Вероятность успешной работы системы уже из 2 элементов оставшееся время:

P₁(t-τ)=

Вероятность успешной работы:

3. Цепь отработала без отказа время τ с интенсивностью отказов 6λ, после чего продолжала работать время τ₁-τ без отказа с интенсивностью отказов 5λ.В момент времени τ₁ система отказывает повторно и работает оставшееся время t- τ₁ без отказов с интенсивностью отказов 4λ.

Вероятность отказа системы во время τ₁:

Вероятность успешной работы системы уже из 1 элемента оставшееся время:

P₂(t-τ1)=

Вероятность успешной работы:

Вероятность успешной работы системы в целом:

P(t)=P₀(t)+P₁₀(t)+P₂₀(t)=

В результате мы получили те же результаты что и методом дифференциальных уравнений.