Признаки делимости натуральных чисел на 2, 3, 4, 5,9 в десятичной системе счисления (доказательство одного из них по выбору студента)

На 2 делятся все четные натуральные числа, например: 172, 94,67 838, 1670.

На 3 делятся все натуральные числа, сумма цифр которых кратна 3. Например:

На 4 делятся все натуральные числа, две последние цифры которых составляют нули или число, кратное 4. Например:

На 5 делятся все натуральные числа, оканчивающиеся на 5 или 0. Например: 125; 10 720.

На 6 делятся те натуральные числа, которые делятся на 2 и на 3 одновременно (все четные числа, которые делятся на 3). Например: 126

На 9 делятся те натуральные числа, сумма цифр которых кратна 9. Например:

11. Методические основы изучения устной и письменной нумерации.(сотня)

Методика изучения чисел первого десятка.

1. Задача учителя ( при изучении темы)- ознакомить с каждым из первых десяти чисел натурального ряда.

2. Основные вопросы, которые должны быть рассмотрены при ознакомлении с каждым числом:

3. Как может быть получено число из предыдущего и из последующего.

4. Как это число называется. Знакомство с печатной и письменной цифрой.

5. Какое место занимает это число в ряду натуральных чисел ( после какого, перед каким, между какими), т.е. выяснение порядковых отношений между числами.

6. Каковы количественные отношения между данным числом и соседними с ним числами.

7. Состав чисел первого пятка.

8. Основной принцип изучения нумерации состоит в том, что изучается не каждое отдельное число, а отрезок натурального ряда: 1,2; 1,2,3; 1,2,3,4; 1,2,3,4,5.

9. Теория вопроса.

10. Натуральное число- это общее свойство класса непустых конечных равномощных между собой множеств.

11. Натуральное число обладает двумя свойствами: количественным и порядковым.

12. Количественное свойство выражается в том, что число характеризует мощность множества.

13. Порядковое свойство выражается в том, что каждое натуральное число занимает определенное место в ряду натуральных чисел.

14. Поэтому число следует вводить так, чтобы его порядковое и количественное свойства выступали одновременно и во взаимосвязи.

15. Методика изучения

16. Знакомство с новым числом проходит обычно по следующему плану:

17. Повторение пройденного

18. Образование нового числа

19. Знакомство с цифрой и ее записью

20. Сравнение нового числа с ранее изученным, место числа в ряду

21. Состав нового числа

22. Введение натурального числа 3

12. Методические основы изучения устной и письменной нумерации ( на примере концентра «Десяток»)
В концентре "Сотня" изучаются следующие вопросы: нумерация чисел, сложение и вычитание, умножение и деление. Эти вопросы выделяются в особый концентр по следующим причинам:

1. - учащиеся знакомятся с новой счетной единицей - десятком и новым понятием - понятием разряда;

2. - учащиеся овладевают приемами устных и письменных вычислений на основе свойства арифметических действий, связи между их компонентами и результатом;

3. - учащиеся усваивают таблицы сложения и умножения и соответствующие случаи обратных действий - вычитания и деления;

4. - вводятся составные задачи и продолжается работа над простыми задачами;

5. - изучаются математические выражения, продолжается изучение геометрического материала.

6. В результате изучения нумерации в пределах 100, учащиеся должны овладеть следующими знаниями, умениями и навыками:

7. - научиться считать предметы десятками и усвоить образование, название двузначных чисел;

8. - усвоить порядок следования чисел при счете, используя предшествующее и последующее число;

9. - уметь сравнивать числа, опираясь на их место в натуральной последовательности, а также на десятичный состав чисел;

10. - уметь читать и записывать числа в пределах 100.

11. Нумерация в концентра "Сотня" изучается в два этапа: 1) устная нумерация; 2) письменная нумерация.

12. Подготовительной работой к изучению нумерации в пределах 10 является повторение нумерации в пределах 10: образование числа (присчитывание и отсчитывание по 1), последовательность чисел от 1 до 10, прямой и обратный счет. Каждый раз учитель говорит: эти же приемы мы будем использовать при изучении нумерации чисел больше 10, но там вместо единиц мы будем употреблять десятки.

13. Изучение устной нумерации в пределах 100 начинается с формирования у учащихся понятия о десятке. Предлагается отсчитать десять палочек и завязать их в пучок. Можно сказать "десять", "десяток" - т.е. десять единиц образуют десяток. Отсчитав по 10 палочек, мы получим еще 1 десяток и будет 2 десятка и т.д. Практически выясняем, что эти десятки можно сложить и вычитать как простые единицы.

14. После ознакомления с понятием "десяток", повторяем основные упражнения по образованию чисел в пределах 10 и то же самое проделываем используя термин "десяток": считаем 1 десяток, 2 десятка, ... и наоборот, выясняем: к 1 десятку прибавим 3 десятка, получим 4 десятка; из 7 десятков вычитаем 2 десятка, получим 5 десятков и т.д. Учащиеся должны понять, что при изучении

15. нумерации принципы и приемы работы с числами переходят из одного концентра в другое.

16. При изучении образования чисел от 11 до 20 из десятков и единиц может быть проведена такая практическая работа с дидактическим материалом: отсчитайте10 палочек, как сказать иначе, сколько у вас палочек? (1 десяток.) Завяжите палочки в пучок. Положите 1 палочку на десяток палочек. Сколько стало всего палочек? (Один – на - дцать.) Сколько здесь десятков палочек? Возьмите десяток в левую руку и покажите. Покажите, сколько еще есть отдельных палочек. Значит, сколько десятков и единиц содержится в числе 11? Положите на десяток еще 1 палочку. Сколько палочек лежит на десятке? (Две.) Сколько всего палочек? Сколько десятков и сколько от дельных палочек? Сколько единиц и сколько десятков в числе "две – на - дцать"? Вместо палочек можно работать с полосками

 

17. Для закрепления устной нумерации учитель подбирает такие упражнения:

18. 1) Отсчитайте 14 палочек, покажите сколько десятков и сколько единиц.

19. 2) У меня в руках 1 десяток палочек и 8 отдельных палочек. Каким числом вы это назовете?

20. 3) Положите 12 палочек, передвигайте по одной палочке и называйте, сколько палочек стало.

21. 4) Положите 19 палочек, отодвиньте в сторону по 1 палочке и называйте, сколько палочек стало.

 

22. 14. Методические основы изучения действий с целыми неотрицательными числами на примере изучения алгоритмов письменного сложения и вычитания в различных концентрах.
В начальном курсе математики арифметические действия над целыми неотрицательными числами является центральной темой. Основная цель изучения эҭого раздела программы - выработать у учащихся начальных классов умения ҏешать арифметические действия и задачи.

23.

24. Изучение конкҏетного смысла арифметических действий сҭҏᴏятся в начальном курсе математики концентрически. В программе намечена система постепенного расширения области рассматриваемых с детьми чисел (десяток - сотня - тысяча - многоязычные числа). Изучение арифметических действий в пҏеделах 10 имеет некоторые особенности. Десять - основание десятичной системы счисления, авторому числа от 1 до 10 образуется в ҏезультате счета простых единиц. Арифметические действия (сложение и вычитание) конкретно связаны с операциями над множествами. Случаи сложения и вычитания в пҏеделах 10 являются табличными, они заучиваются наизусть. При формировании навыков счета и отсчета важно наряду со счетом отдельных пҏедметов упражнять детей в счете групп, состоящих из однородных пҏедметов.

25.

26. Пҏежде чем приступить к изучению арифметических важно отработать умение считать, авторому на каждом уроке включаются упражнения в счете пҏедметов - именно счет пҏедметов - а не так называемый «отвлеченный счет». Дети считают пҏедметы окружающей обстановки, пҏедметные картинки, пҏедметы, изображенные на картинках в учебнике, а также палоҹки, кружки, тҏеугольники и др.

27. Считая пҏедметы в различном порядке, учащиеся своими словами формируют вывод о том, ҹто ҏезультат счета не зависит от порядка счета. Они должны усвоить, что если последний пҏедмет оказался пятым при счете, то всего пҏедметов пять, и наоборот, если всего пҏедметов пять, то последний пҏедмет пятый, но вместе с тем «пятый» - эҭо только один пҏедмет.Дети, считая пҏедметы, знакомятся с первыми десятого числами натурального ряда (их названиями, последовательностью), выясняют на примеҏе этих чисел, как образуется каждое следующее число в натуральном ряду. Сначала эҭо делается на основе выполнения соответствующих операций над множествами (присчитывание и отсчитывание по одному и группами).Каждое из четырех арифметических действий должно прочно связаться в сознании детей с теми конкҏетными задачами, которое требует его применения, смысл действия и раскрывается главным образом на основе практических действий с множествами пҏедметов. На эҭой основе доводится до сознания детей связь между компонентами и ҏезультатами действий, связь между действиями, рассматриваемые свойства действий и изучаемые математические отношения. Раскрытие конкҏетного смысла сложения и вычитания изучается на основе практических упражнений, связанных с объединением двух множеств пҏедметов иди удалением части данного множества пҏедметов. Такие упражнения выполнялись начиная с первых уроков математики, продолжаются они и в теме «Сложение и вычитание». Но здесь главное значение приобҏетает ознакомление с действиями над числами. Программа пҏедусматривает ознакомление с основными приемками вычислений, которыми учащиеся должны уметь пользоваться при сложении и вычитании чисел. Прием прибавления и вычитания числа по его частям (по единице и группами) универсален: он может быть использован прᴎᴍȇʜᴎтельно к любому случаю сложения и вычитания.

28. С первых же уроков подготовительного периода отрабатывается умение сравнивать численности множеств. Сравнение чисел натурального ряда выполняется с опорой на сравнении множеств. С эҭой целью пҏедлагается детям такие задания: «Скажите, на котором окне цветов больше, в каком ряду елочек на рисунке меньше; каких кружков больше, а каких меньше на наборном полотне?». Упражнения на сравнение множеств даются так, ҹтобы дети выполняли их не только с помощью счета, но и путем соотношения ϶лȇментов «один к одному». Сравнение множеств путем соотнесения пҏедметов «один к одному» дает возможность уже в эҭот период устанавливать не только где больше, а где меньше пҏедметов, но и на сколько пҏедметов больше, на сколько меньше. При выполнении этих упражнений, опираясь на множество, учитель должен каждый раз обращать внимание детей на взаимосвязь отношений «больше» и «меньше»; например, если квадратов на 1 больше, чем тҏеугольников (показывает лишний квадрат), то тҏеугольников на 1 меньше, чем квадратов.

29. В целях раскрытия конкҏетного смысла сложения и вычитания следует показать, ҹто прибавлять и вычитать можно разные числа, а не только единицу. В связи с данным обстоятельством при изучении арифметических действий рассматриваются все случаи сложения и вычитания в пҏеделах 10 (а+2, а+3, а+4, а+5). Результаты действий находят путем соответствующих операций над множествами, ҹто помогает детям понять конкҏетный смысл сложения и вычитания. После того как дети найдут ҏезультат сложения, сразу выясняют, как получили эҭот ҏезультат. (Сколько получится, если к 3 прибавить 2?). На основе таких упражнений учащиеся постепенно запоминают не только ҏезультаты действий в пҏеделах 10, но и состав чисел 2,3,4,5,6,7,8,9 и 10 из слагаемых. Состав же этих чисел иллюстрируются с помощью операций над множествами. При раскрытии конкҏетного смысла арифметических действий ҏекомендуется научить детей ҏешать примеры в 2 действия вида 6+1+1, 9-1-1, ҹтобы дети закҏепили умения прибавлять и вычитать единицу и накопили наблюдения: если прибавим (выҹтем) 1 и еще 1, то всего прибавим (выҹтем) 1 и еще 1, то всего прибавим (выҹтем) →2. Вначале ҏешение таких примеров иллюстрируют действиями с пҏедметами, например: «Положите 4 синих квадрата, придвиньте 1 желтый квадрат. Сколько квадратов получилось? придвиньте еще 1 желтый квадрат. Сколько квадратов получилось? Запишите пример: 4+1+1; объясните, как ҏешаем такой пример (к 4 прибавить 1,получится 5, к 5 прибавить 1, то получится 6).

30. Так же раскрывается смысл вычитания 8-1-→1. Затем приступают к рассмоҭрҽнию приема прибавления и вычитания числа →2. Решение первых примеров выполняется с опорой на пҏедметный счет. Решается пример 4+→2. пусть эти букеты на окне изображают число 4, а эти 2 букета - число →2. покажите, как эти 2 букета присоединить к тем 4 букетам (ученик переносит цветы на окно, сначала дин букет, потом второй).

31.

32. Изучение каждого свойства сложения и вычитания сҭҏᴏится примерно по одному плану: сначала, используя ϶лȇменты множеств, надо раскрыть суть самого свойства, затем научить детей прᴎᴍȇʜᴎть его при выполнении различных упражнений учебного характера, и, наконец, научить, пользуясь знанием свойства, находить рациональные приемы вычислений с учетом особенностей каждого конкҏетного случая.

33. При раскрытии конкҏетного смысла арифметических действий в пҏеделах 1000 дети знакомятся с новыми приемами прибавления и вычитания числа по его частям.

34. Для демонстрации операции сложения и вычитания луҹше всего воспользоваться хорошо знакомым детям палоҹками и пуҹками палочек. Пусть первый большой пуҹок - «сотня» будет получен из десяти меньших пуҹков - «десятков» на глазах у детей в ҏезультате счета десятков. Следующие пуҹки - «сотни» могут быть заготовлены заранее. Считая сотнями, учитель обратит внимание детей на то, как называются одна сотня, две сотни.

 

16. Методические основы изучения уравнений в начальном курсе математики.
Линия уравнений является стержнем алгебраического материала школьного курса математики. Изучение уравнений в начальной школе носит пропедевтический характер. Поэтому очень важно подготовить детей в начальной школе к более глубокому изучению уравнений в старших классах. В начальной школе в процессе работы над уравнениями закрепляются правила о взаимосвязи части и целого, сторон прямоугольника с его площадью, формируются вычислительные навыки и понимание связи между компонентами действий, закрепляется порядок действий и формируются умения решать текстовые задачи, идет работа над развитием правильной математической речи. На уроках закрепления уравнения позволяют разнообразить виды заданий. Изучение уравнений начинается с подготовительного этапа уже в 1м классе, когда дети, действуя с предметами, решают такие «задачи».

Затем учащиеся переходят к действиям над числами и выполняют задания, связанные с нахождением неизвестного числа в окошке (например:?+ 2 = 7 ; 5 + ? = 7 ; 7 –? = 2 ; ? – 5 = 2.)Дети находят число либо подбором, либо на основе знаний состава числа. На данном этапе учителю необходимо включать в устные упражнения следующие задания:– Сколько надо вычесть из 3, чтобы по& лучилось 2? – Сколько надо прибавить к 2, чтобы получилось 4?

На втором этапе учащиеся знакомятся с понятиями «уравнение» и «корень уравнения». дети учатся решать уравнения с неизвестным слагаемым, уменьшаемым, вычитаемым. Уравнения решаются на основе взаимосвязи между частью и целым. При изучении данной темы дети должны научиться находить в уравнениях компоненты, соответствующие целому (сумма, уменьшаемое), и компоненты, соответствующие его частям (слагаемое, вычитаемое, разность). При решении уравнений детям нужно будет вспомнить лишь два известных правила: – Целое равно сумме частей. – Чтобы найти часть, надо из целого вычесть другую часть. Эту работу облегчает графическое обозначение части ____ и целого , а также понимание того, что целое – это большее число. Для того чтобы облегчить работу над формированием навыка решения уравнения, я провожу в классе следующую работу. 1. Составление и решение уравнений по схеме. 2. Составление и решение уравнений с помощью модели числа.

учитель может давать задание по составлению уравнений на дом. К концу изучения четвертой части учебника «Математика 1» дети учатся комментировать уравнения через компоненты действий. Работа строится следующим образом: 1) читаю уравнение; 2) нахожу известные и неизвестные компоненты (часть и целое); 3) применяю правило (по нахождению части или целого); 4) нахожу, чему равен Х; 5) комментирую через компоненты действий.

Во 2м классе новый этап решения уравнений вида: а *Х = в; а : Х = в; Х : а = в .Уравнения этого вида решаются на основе взаимосвязи между площадью прямоугольника и его сторонами. Поэтому изменяется и графическое обозначение компонентов уравнения: – площадь прямоугольника, а ____ – его стороны. обучение решению и комментированию уравнений ведется по определенной схеме: Решение с одновременным комментированием правил нахождения площади прямоугольника и его сторон. Например, Х : 2 = 5 (Х – площадь прямоугольника, 2 и 5 – его стороны). Х = 2 .5 (чтобы найти площадь прямоугольника, надо перемножить его стороны) Х = 10 29й этап. Решение уравнений с комментированием (через площадь прямоугольника и его стороны). Комментирование через компоненты действий после решения уравнения (к концу 2&го класса). Для отработки навыков решения уравнений на умножение и деление можно использовать следующие упражнения.

В 3м классе учащиеся знакомятся с решением составных уравнений. Решение таких уравнений строится на качественном анализе выражения, стоящего в левой части уравнения: какие действия указаны в выражении, какое действие выполняется последним, как читается запись этого выражения, какому компоненту этого действия принадлежит неизвестное число и т.п. К этому времени учащиеся должны твердо овладеть следующими умениями: – решение простых уравнений, – анализ решений уравнений по компонентам действий, – чтение записи выражений в два,три действия, – порядок выполнения действий в выражениях со скобками и без них. На данном этапе дети должны пони& мать, что в записи уравнений в качестве неизвестного числа могут использоваться различные буквы латинского алфавита, например: К + 4 = 3; Р – 3 = 8; Z : 6 = 7 и т.п. Запись решения уравнений сопровождается словесным описанием выполняемых действий. Для выработки правильной математической речи и навыков решения первых уравнений данного вида необходимо использовать таблицы с образцами решений. Но так как дети уже с 1го класса знакомы с записью различных алгоритмов, то можно использовать только алгоритм решения уравнений, по которому дети и анализируют уравнения.

 

 

При решении таких уравнений учитель должен уделять особое внимание проверке. Так как в старших классах бывает трудно сделать проверку к некоторым уравнениям, следует уже в начальной школе сформировать у детей умение выполнять ее – сначала письменно, а затем уже и устно. Ведь приучать детей к самоконтролю необходимо с первого класса. Порой учитель может видеть, как дети бездумно подставляют вместо неизвестного числа его значение и только переписывают ответ (не выполняя саму проверку). Чтобы проверка выполнялась детьми при самостоятельной работе, необходимо «заставить» каждого ребенка сделать ее (т.е. поработать над ней). Здесь мало написать промежуточные ответы. Я предлагаю детям «поиграть» с промежуточными ответами в проверке.

17. Классификация простых задач. Методика работы над простыми задачами.
Классификация простых задач:

Простые задачи, раскрывающие конкретный смысл арифметических действий

1. Нахождение суммы двух чисел

2. Нахождение остатка

3. Нахождение суммы одинаковых слагаемых

4. Деление на равные части

5. Деление по содержанию

Простые задачи, раскрывающие связь между компонентами и результатом арифметических действий

Простые задачи, раскрывающие новый смысл арифметических действий

Задачи, связанные с понятием разности

а) Разностное сравнение чисел (1 и 2 вид )

б) Увеличение числа на несколько единиц ( прямая и косвенная формы )

в) Уменьшение числа на несколько единиц ( прямая и косвенная формы )

2. Задачи, связанные с понятием отношения

а) Кратное сравнение чисел ( 1 и 2 вид )

б) Увеличение числа в несколько раз ( прямая и косвенная формы )

в) Уменьшение числа в несколько раз ( прямая и косвенная формы )

Особую роль в повышении качества знаний, умений и навыков учащихся начальных классов играют задачи. В процессе их решения формируются основные математические понятия курса математики начальных классов, совершенствуются вычислительные навыки, развивается мышление и речь учащихся. Овладение учащимися умением решать задачи оказывает существенное влияние на их интерес к предмету.

Знакомство с простыми задачами начинается в 1-м классе при изучении чисел первого десятка. Это задачи на сложение и вычитание. Во 2-м классе при изучении новых арифметических действий (умножение и деление) ребята знакомятся и с новыми задачами, при решении которых используются эти действия. В 3-м классе происходит закрепление умений решать простые задачи, знакомство с задачами на нахождение доли числа, решаются задачи на цену, количество, стоимость. В 4-м классе к новым видам простых задач относятся задачи, сформулированные в косвенной форме и задачи, с помощью которых раскрывается связь между величинами: скоростью, временем и расстоянием.

 

Поспешное и поверхностное отношение детей к обдумыванию решения задачи начинает складываться ещё в 1 классе. При решения текстовой задачи состоит из нескольких этапов.

Восприятие и первичный анализ задачи.

Поиск решения и составление плана решения.

Выполнение решения и получение ответа на вопрос задачи.

Проверка решения. Формулировка окончательного ответа на вопрос

задачи.

 

Основная цель ученика на первом этапе – понять задачу. Ученик должен чётко представить себе: О чём эта задача? Что в задаче известно? Что нужно найти? Как связаны между собой данные (числа, величины, значения величин)? Какими отношениями связаны данные и неизвестные, данные и искомое? Что является искомым: число, отношения, некоторое утверждение?

 

Можно выделить следующие возможные приёмы выполнения первого этапа решения текстовой задачи:

Разбиение текста задачи на смысловые части. Применение этого приёма обеспечивает как понимание содержания задачи, так и запоминание. На первых уроках по ознакомлению с задачами и для многих простых задач на последующих уроках полезно разбиение текста на части, описывающего:

а) начало события;

б) действие, которое произвели (произошло) с объектами задачи;

в) конечный момент события, результат действия.

 

Цель переформулировки – отбрасывание несущественных деталей, уточнение и раскрытие смысла существенных элементов задачи.

Моделирование ситуации, описанной в задаче, с помощью:

а) реальных предметов, о которых идёт речь в задаче;

б) предметных моделей;

в) графических моделей в виде рисунка или чертежа.

 

Каждый из перечисленных выше приёмов начинается с чтения или слушания задачи. От того, как будет прочитана или прослушана задача, зависит её понимание, а следовательно, и эффективность дальнейших действий по её решению.

умения решать задачи – это умения, необходимые и используемые при решении многих или хотя бы нескольких математических задач.

В процессе решения математической задачи необходимы обобщённые умения разных видов, например умения выделять опорные слова, выполнять краткую запись задачи и т. д. Но особо важное значение имеют обобщённые умения, входящие в процесс поиска плана решения задачи.

1. Составление и решение обратной задачи:

• подставить в текст задачи найденное число;

• выбрать новое искомое;

• сформулировать новую задачу;

• решить составленную задачу;

• сравнить полученное число с тем данным первой задачи, которое было выбрано в качестве искомого.

Объективно степень сложности обратной задачи такая же, что и прямой.

следует, что составление и решение обратной задачи в более сложное для учащихся, чем решение прямой задачи

18. Приемы знакомства с составной задачей. Моделирование при обучении решению составных задач.
При знакомстве с составной задачей могут быть использованы различные методические приемы:

1. Рассмотрение двух простых задач с последующим объединением их в составную.

2. Рассмотрение простой задачи с последующим преобразованием ее в составную путем изменения ее вопроса.

3. Прием рассмотрения сюжета с действием, рассредоточенным во времени.

4. Прием рассмотрения задач с недостающими или лишними данными.