Алгоритм умножения многозначных чисел в десятичной системе счисления и его теоретическое обоснование

Пусть требуется измерить длину отрезка х с помощью единичного отрезка е. При измерении оказалось, что отрезок х состоит из трех отрезков, е, и отрезка, который короче отрезка е. В этом случае длина отрезка х не может быть выражена натуральным числом. Однако, если отрезок е разбить на 4 части, то отрезок х окажется состоящим из 14 отрезков, равных четвертой части отрезка е. И тогда, говоря о дине отрезка х, мы должны указать два числа 4 и 14: четвертая часть отрезка е укладывается в отрезке точно 14 раз. Поэтому условились длину отрезка х записывать в виде Е, где Е - длина единичного отрезка е, а символ называют дробью.

В общем виде понятие дроби определяют так. Пусть даны отрезок х и единичный отрезок е, длина которого Е. Если отрезок х состоит из m отрезков, равных n-ой части отрезка е, то длина отрезка х может быть представлена в виде , где символ называют дробью.

К записи дроби числа m и n - натуральные, m - называется числителем, n - знаменателем дроби.

Дробь называется правильной, если ее числитель меньше знаменателя, и неправильной, если ее числитель больше знаменателя или равен ему.

Определение: Две дроби и называются равными, если mg = np. Если дроби равны, то пишут =.

Из сформулированных выше теоремы и определения следует, что две дроби равны тогда и только тогда, когда они выражают длину и того же отрезка.

Теорема. Равенство дробей является отношением эквивалентности.

Из определения равных дробей вытекает основное свойство дроби:

Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится дробь, равная данной.

На этом свойстве основанного сокращение дробей и приведение дробей к общему знаменателю.

Сокращение дробей - это замена данной дроби другой, равной данной, но с лишим числителем и знаменателем.
Если числитель и знаменатель дроби одновременно делятся только на единицу, то дробь называют несократимой. Например, - несократимая дробь, так как ее числитель и знаменатель делятся одновременно только на единицу.

Приведение дробей к общему знаменателю - это замена данных дробей, равными им дробями, имеющими одинаковые знаменатели. Общим знаменателем двух дробей = является общее кратное чисел n и g, а наименьшим общим знаменателем - их наименьшее.

Рациональные числа – в математике множество рациональных чисел определяется как множество нескоротних дробей с целым числителем и натуральным знаменателем:

или как множество решений уравнения

т.е. n – натуральное число, а m – целое число.

Множество рациональных чисел является подмножеством действительных чисел.

Правильной называется дробь, у которой модуль числителя меньше модуля знаменателя.

Любое целое число можно представить в виде неправильной дроби со знаменателем 1.

Дробь, записанная в виде целого числа и правильной дроби, называется смешанной дробью и понимается как сумма этого числа и дроби.

Сначала введем понятие доли.

. Каждую из этих равных частей, составляющих целый предмет, называют долей целого или просто долей.

Одна вторая доля имеет специальное название – половина. Одна третья доля называетсятретью, а одна четверная доля – четвертью.

10.Отношение делимости, его свойства.
Понятие отношения делимости, его свойства. Делимость суммы, разности и произведения на число (доказательство одного из них по выбору студента).