Указания к решению задач. Задачи этой темы рассчитаны на применение уравнения Бернулли для реального потока

 

Задачи этой темы рассчитаны на применение уравнения Бернулли для реального потока жидкости, то есть с учетом гидравлических потерь и коэффициента Кориолиса α.

Коэффициент Кориолиса при ламинарном режиме течения α = 2. Для турбулентных потоков можно принимать α = 1.

Общая схема использования уравнения Бернулли сводится к следующему:

· важно правильно выбрать те два сечения, для которых оно записывается. В качестве сечений рекомендуется брать:

- свободную поверхность жидкости в резервуаре, где υ 0;

- выход в атмосферу, где р_м = 0; то есть р_а = р_ат;

- сечение, где присоединен прибор (манометр, пьезометр, вакуумметр);

· намечают горизонтальную плоскость сравнения таким образом, чтобы z₁ или z₂ входящие в уравнение Бернулли, обратилось в нуль;

· сначала уравнение Бернулли записывают в общем виде (3.6) и устанавливают значения отдельных слагаемых с учетом исходных данных, а также исключают из него члены, равные нулю;

· подставляют найденные выражения для отдельных слагаемых в уравнение Бернулли (3.6), производят соответствующие преобразования и решают его относительно искомой величины;

· величина в общем случае складывается из местных потерь, выраженных формулой Вейсбаха (3.12), и потерь напора на трение по длине, определяемых формулой Дарси-Вейсбаха (3.13).

Если в условии задачи не задана величина коэффициента гидравлического трения , то порядок ее определения следующий:

- находят действительное число Рейнольдса по формуле (3.8) и устанавливают режим течения путем сравнения его с критическим, то есть проверяют выполнимость неравенств (3.10) и (3.11);

- устанавливают область гидравлического трения путем проверки выполнимости неравенств (3.16), (3.18) или (3.20), предварительно рассчитав границы областей

(3.25)

и (3.26)

где d – внутренний диаметр потока, м;

– абсолютная (эквивалентная) шероховатость стенок трубы, м. См. Приложение 5;

- вычисляют величину по одной из формул:

при ламинарном режиме – по формуле (3.14),

при турбулентном режиме:

по ф. (3.17) в области гладких труб,

по ф. (3.19) в области смешанного трения,

по ф. (3.21) в квадратичной области сопротивления, по алгоритму, приведенному на рис. 3.2.

Рисунок 3.2 – Алгоритм определения гидравлического

коэффициента трения

 

Графически уравнение Бернулли для потока реальной жидкости представляют в виде диаграммы (рис. 3.3). Судя по графику, уравнение Бернулли представляют тремя линиями:

· напорной линией для идеальной жидкости (теоретической напорной линией), параллельной оси оX;

· действительной напорной линией N - N, имеющей падающий характер, ввиду учета всех видов потерь напора вдоль потока;

· пьезометрической линией (р - р), которая в любом сечении ниже действительной напорной линии на величину скоростной высоты ).

Таким образом, перед построением диаграммы производят вычисления всех слагаемых уравнения Бернулли и затем в масштабе делают ее построение.

1-1 и 2-2 – сечения потока, связанные уравнением Бернулли;

0-0 – плоскость сравнения;

а - а, б- б, в-в – характерные сечения, обусловленные местными сопротивлениями,

соответственно: вход в трубу, внезапное расширение и внезапное сужение потока;

N-N – действительная напорная линия; р-р – пьезометрическая линия

 

Рисунок 3.3 – Диаграмма уравнения Бернулли для потока реальной жидкости

 

Пример 10

По горизонтальной трубе постоянного сечения длиной 50 м и диаметром 100 мм из открытого резервуара вода вытекает в атмосферу при постоянном напоре Н = 5 м (рис. 3.4).

Определить скорость и расход вытекающей воды, если заданы коэффициенты местных сопротивлений: входа в трубу = 0,5 и крана = 5, а также коэффициент гидравлического трения .

Рисунок 3.4 – Расчетная схема к примеру 10

Намечаем на расчетной схеме (рис. 3.4) сечения потока 1-1 и 2-2. Плоскость сравнения 0-0, совмещаем с осью симметрии потока.

Первое сечение совмещено со свободной поверхностью в напорном резервуаре, а второе – с истечением воды в атмосферу.

Записываем уравнение Бернулли для выбранных сечений потока жидкости:

и устанавливаем значения слагаемых, входящих в его левую и правую часть:

так как скорость на свободной поверхности резервуара при Н = const очень мала;

Коэффициент Кориолиса при турбулентном течении маловязкой жидкости (воды) принимаем α = 1,0.

Подставляем найденные выражения для отдельных слагаемых в уравнение Бернулли:

После математических преобразований получили выражение следующего вида:

где неизвестным параметром является скорость истечения воды из трубы .

Решаем полученное выражение относительно искомой величины:

Определяем расход вытекающей из трубопровода воды :

Пример 11

По данным примера 10 построить диаграмму уравнения Бернулли. Кран установлен посредине трубопровода (рис. 3.4).

Решение

Находим числовые значения слагаемых уравнения Бернулли с учетом исходных и расчетных данных примера 10:

	– геометрическая высота в сечении 1-1;
	– пьезометрическая высота в сечении 1-1, поскольку избыточное давление на свободной поверхности резервуара равно нулю;
	– скоростная высота в первом сечении равна нулю, что обусловлено малой скоростью движения воды в пределах свободной поверхности;
	– геометрическая высота в сечении 2-2 равна нулю, так как совпали центр тяжести этого сечения с плоскостью сравнения 0-0;
	– пьезометрическая высота во втором сечении равна нулю, поскольку жидкость вытекает в атмосферу;
	– скоростная высота в сечении 2-2:
	– потери напора на трение по всей длине трубопровода. Согласно формулы Дарси-Вейсбаха (3.13) равны: Поскольку кран установлен посредине трубопровода, то потери напора на трение до него и после будут одинаковыми и составлять 0,5 , то есть 1,515 м;
	– потери напора на вход в трубу. Согласно формулы Вейсбаха (3.12) равны:
	– потери напора на кран, определяемые также из формулы Вейсбаха:

Сумма вычисленных потерь напора с учетом скоростной высоты во втором сечении составляет:

то есть равна располагаемому напору

По данным выполненных расчетов строим диаграмму уравнения Бернулли (рис. 3.5).

N-N – действительная напорная линия; р-р – пьезометрическая линия а-а, б-б – характерные сечения, в которых задействованы местные сопротивления   Рисунок 3.5 – Диаграмма уравнения Бернулли к примеру 11

Пример 12

По чугунному трубопроводу длиной l = 20 м и диаметром d на высоту h = 4,25 м насосом подается вода при = 0,015 м³/с (рис. 3.6) и р_вак = 45 кПа.

а – расчетная схема; б – графическое определение скорости

во всасыващей трубе насосной установки

Рисунок 3.6 – К примеру 12

Определить диаметр всасывающей трубы с учетом допускаемой скорости движения воды υ = 0,7…1,2 м/с.

Потерями напора на местные сопротивления пренебречь.

Решение

Намечаем на расчетной схеме (рис. 3.6, а) сечения потока 1-1 и 2-2 с одновременным указанием плоскости сравнения 0-0. В данном случае она совмещена с сечением 1-1, то есть свободной поверхностью, где р = р_ат.

Записываем уравнение Бернулли для выбранных сечений потока:

и устанавливаем значение слагаемых с учетом места положений сечений и плоскости сравнения.

Здесь принимаем коэффициент Кориолиса α₂ 1,0.

Подставляем полученные выражения слагаемых в уравнение Бернулли:

Введем обозначения:

· вакуумметрический напор

	где ρ – плотность воды при температуре 10ºС, ρ = 1005 кг/м3;
·	располагаемый напор
·	расчетный напор

Тогда с учетом введенных обозначений уравнение Бернулли принимает следующий вид:

то есть получено выражение, в котором неизвестны три параметра, в том числе:

· коэффициент гидравлического трения λ;

· диаметр всасывающей трубы d;

· средняя скорость течения воды υ.

Поэтому для решения задачи рекомендуется метод последовательного приближения, суть которого сводится к следующему:

· произвольно задаются рядом значений одного из вышеперечисленных неизвестных параметров. В данном случае, например скоростью υ в диапазоне допустимых скоростей 0,7…1,2 м/с;

· затем с учетом принятых значений υ вычисляют значения других неизвестных параметров, то есть диаметра всасывающей трубы d и коэффициента гидравлического трения λ;

· полученные расчетные данные позволяют определить ряд значений расчетного напора и построить график зависимости Н₁ = f(υ), (см. рис. 3.6, б);

· на этот же график наносят значение располагаемого напора Н_р = const в виде прямой линии, параллельной оси O_X;

· значение скорости, соответствующее точке пересечения графиков Н_р = const и Н₁ = f(υ), является решением задачи.

Результаты вычислений сводят в таблицу.

Расчетные параметры	Результаты расчетов
Задается υ, м/с	0,7	0,8	0,9	1,0	1,1	1,2
Диаметр d = м	0,19	0,17	0,16	0,156	0,15	0,14
Число Рейнольдса Re = υ · d/ v
Коэффициент гидравлического трения	0,031	0,0311	0,0315	0,0318	0,032	0,0325
Расчетный напор , м	0,11	0,15	0,2	0,26	0,325	0,415

В данном примере пересечение графиков имеет место при υ = 1,08 м/с. Полученное значение υ дает возможность ответить на главный вопрос задачи, то есть найти значение внутреннего диаметра всасывающей трубы d:

В соответствии с ГОСТ 3262-75 (Приложение 8)принимаем стандартное значение диаметра трубы d = 150 мм.

 

Задача 51 (рис.3.7). Всасывающий трубопровод насоса имеет длину ℓ и диаметр d. Высота всасывания насоса h при расходе . Определить абсолютное давление р перед входом в насос. Коэффициенты местных сопротивлений: приёмный клапан с сеткой ζ₁, плавный поворот ζ₂ и вентиль ζ ₃ см. в Приложении 6 – труба стальная бесшовная новая. Исходные данные к задаче приведены в табл. 51.

Таблица 51

Исходные данные	Единицы измерения	Значение для вариантов
	л/мин
ℓ	м
d	мм
ρ	кг/м3
υ	см2/с	0,1	0,3	0,5	0,1	0,3
h	м	0,8	0,7	0,6	0,75	0,65

Задача 52 (рис.3.7). По условиям предыдущей задачи определить предельную максимальную высоту установки насоса над водоисточником, если задан максимально допустимый вакуум перед входом в насос р_вак. Трубу считать гидравлически гладкой. Коэффициенты местных сопротивлений: приёмный клапан с сеткой ζ₁, плавный поворот ζ₂ и вентиль ζ ₃ см. в Приложении 6. Исходные данные к задаче приведены в табл. 52.

Таблица 52

Исходные данные	Единицы измерения	Значение для вариантов
	л/с
ℓ	м
d	мм
υ	см2/с	0,01	0,0083	0,0094	0,0086	0,0106
рвак	кПа

Задача 53 (рис.3.7). Определить минимально возможный диаметр всасывающего трубопровода, если заданы: подача насоса ; высота над водоисточником h;длина трубопровода ℓ;шероховатость трубы Δ и максимально допустимый вакуум перед входом в насос р_вак. Задачу решить методом последовательного приближения, задавшись скоростью потока u= 0,9…1,8 м/с. Коэффициенты местных сопротивлений: приёмный клапан с сеткой ζ₁,плавный поворот ζ₂и вентиль ζ ₃см. в Приложении 6. Исходные данные к задаче приведены в табл. 53.

Таблица 53

Исходные данные	Единицы измерения	Значение для вариантов
·103	м3/с	3,5	4,75	6,3	4,8	2,8
h	м	3,2	3,6	4,1	5,4	4,8
ℓ	м		7,5		12,5
Δ	мм	0,015	0,03	0,05	0,1	0,05
рвак	кПА
υ	см2/с	0,0131	0,0124	0,0117	0,0112	0,01

Задача 54 (рис.3.8). Вода из верхнего резервуара подается в нижний резервуар по стальному новому трубопроводу диаметром d и длиной ℓ, имеющему два резких поворота на углы β₁ и β₂. Разность уровней в резервуарах H, температура воды t. Определить расход воды в трубопроводе.

Задачу решить методом последовательного приближения, задаваясь скоростью жидкости 2…4 м/с.

Коэффициенты местных сопротивлений: приёмный клапан с сеткой ζ₁, резкие повороты ζ₂ и ζ ₃ см. в Приложении 6. Исходные данные к задаче приведены в табл. 54.

Таблица 54

Исходные данные	Единицы измерения	Значение для вариантов
ℓ	м
d	мм
β1	…°
β2	…°
H	м	2,5		3,5		2,4
t	°С

Задача 55 (рис.3.8). Определить внутренний диаметр d сифона, предназначенного для переброски воды из верхнего резервуара в нижний при постоянной разности уровней H и расходе . Температура воды t. Значения коэффициентов местных сопротивлений: приёмный клапан с сеткой ζ₁, резкие повороты ζ₂ и ζ ₃ см. в Приложении 6.

Задачу решить методом последовательного приближения, задаваясь диаметром сифона d=50…60 мм. Исходные данные к задаче приведены в табл. 55.

Таблица 55

Исходные данные	Единицы измерения	Значение для вариантов
H	м	2,5		4,9
	л/с
ℓ	м
t	°С
β1	…°
β2	…°
Δ	мм	0,4	0,05	0,2	0,05	0,1

Задача 56(рис.3.9). Насос подает воду на высоту h по трубопроводу диаметром d и длиной ℓ, на котором имеются вентиль с прямым затвором, два резких поворота на углы β₁ и β₂ при расходе . Давление в конце трубопровода р₂, температура воды t. Определить давление р₁ на выходе из насоса. Трубопровод считать гидравлически гладким. Коэффициенты местных сопротивлений: кран проходной ζ _кр, и два поворота без скругления ζ _пов1, ζ _пов2 см. в Приложении 6. Исходные данные к задаче приведены в табл. 56.

Таблица 56

Исходные данные	Единицы измерения	Значение для вариантов
	л/с	2,5	5,0	9,0	8,0
h	м
d	мм
ℓ	м
р2	кПа
t	°С
β1	…°
β2	…°

Задача 57 (рис.3.10). Из резервуара А жидкость выливается в резервуар В по трубе диаметром d, в конце которой имеется пробковый кран с сопротивлением ζ ₂ = 0,5. Определить, за какое время заполнится резервуар В объемом V.

Задачу решить методом последовательного приближения, задаваясь λ= 0,04…0,15. Коэффициент поворота без скругления ζ₁ принять равным 1,19. Исходные данные к задаче приведены в табл. 57.

 

Таблица 57

Исходные данные	Единицы измерения	Значение для вариантов
ℓ	м	3,2		5,5	4,6
d	мм
H	м	1,5	0,35	0,65	1,8
V	м3
ρж	кг/м3
υ	см2/с	0,5	0,3	0,5	0,4	0,3
Δ	мм	0,1	0,5	0,2	0,05	0,05

Задача 58 (рис.3.11). Определить расход воды в трубопроводе постоянного сечения диаметром d и длиной ℓ, если выходное отверстие трубопровода расположено ниже входного отверстия на величину Ζ. Напор над центром тяжести поддерживается постоянным и равным H. Коэффициенты местных сопротивлений и гидравлического трения приведены в табл. 58. Построить пьезометрическую и напорную линии.

Таблица 58

Исходные данные	Единицы измерения	Значение для вариантов
d	мм
ℓ	м
z	м		2,5		1,5	1,0	1,75
ζвх		0,45	0,4	0,55	0,48	0,5	0,6
ζкр				4,5		4,8
λ,10-3
H	м				3,5	4,5

Задача 59 (рис.3.11). Определить постоянный напор H над центром тяжести трубопровода длиной ℓ и диаметром d, присоединенного к открытому резервуару. Вода вытекает в атмосферу при расходе . Построить пьезометрическую и напорную линии. Исходные данные к задаче приведены в табл. 59.

Таблица 59

Исходные данные	Единицы измерения	Значение для вариантов
ℓ	м
d	мм
z	м		1,5	3,0	3,5	4,0	4,5
ζвх		0,6	0,5	0,4	0,45	0,55	0,6
ζкр						4,5	5,5
λ,10-3
	л/с

Задача 60 (рис.3.11). Определить диаметр гидравлически короткого трубопровода, по которому вода вытекает из открытого напорного резервуара в атмосферу. Напор над центром тяжести трубопровода поддерживается постоянным. Задачу решить методом последовательного приближения, задавшись диаметром трубы 50…75 мм. Построить пьезометрическую и напорную линии. Исходные данные к задаче приведены в табл. 60.

Таблица 60

Исходные данные	Единицы измерения	Значение для вариантов
	л/с			5,5	6,5
ℓ	м
z	м		1,5		2,5		3,5
λ		0,025	0,027	0,029	0,031	0,033	0,035
ζкр		0,4	0,5	0,4	0,5	0,4	0,5
ζвх
H	м		0,7	2,35	3,5	7,0	6,9

Задача 61 (рис.3.12). Из закрытого резервуара А, на свободной поверхности которого действует избыточное давление р_м, вода нагнетается по вертикальному трубопроводу постоянного сечения диаметром d и длиной ℓ в резервуар В.

Определить:

1. Скорость, с которой вода движется по нагнетательному трубопроводу, если заданы коэффициенты местных сопротивлений: входа в трубу ζ_вх, вентиля ζ_вент и колена с закруглением ζ_кол.

2. Расход воды в трубопроводе .

Задачу решить методом последовательного приближения, задавшись ориентировочно значением скорости движения υ = 5…8 м/с. Абсолютную шероховатость стенок трубопровода принять равной Δ = 0,6 мм. Исходные данные к задаче приведены в табл. 61.

Таблица 61

Исходные данные	Единицы измерения	Значение для вариантов
Н	м	4,2	3,5	1,75	2,5		3,75
рм	кПа
ℓ	м
d	мм
t	оС
ζвх		0,4	0,5	0,525	0,55	0,475	0,46
ζкол		0,14	0,12	0,1	0,13	0,15	0,12
ζвент		3,5		3,8	3,75	3,25

Задача 62 (рис.3.13). Для автоматической перекачки воды из верхнего водоема в нижний установлена сифонная труба длиной ℓ и диаметром d. Определить расход и вакуум в сечении а-а, если разность уровней верхнего и нижнего водоема H. Длина сифона до сечения а-а равна ℓ₁. Горизонтальный участок сифона расположен над уровнем воды верхнего водоема на высоте h. Коэффициент трения определить по зависимости квадратичной области турбулентного режима, приняв абсолютную шероховатость стенок Δ. Коэффициенты местных сопротивлений и исходные данные к задаче приведены в табл. 62.

Таблица 62

Исходные данные	Единицы и измерения	Значение для вариантов
Н	м	2,0	2,5	1,8	1,9	1,5	2,2
ℓ	м
d	мм
ℓ1	м
h	м	1,0	1,3	1,0	1,1	0,8	1,1
Δ	мм	0,2	0,075	0,1	0,16	0,2	0,45
ζсетка				9,7	9,5		8,5
ζпов		0,37	0,37	0,58	0,39	0,76	0,38

Задача 63 (рис.3.14). Вода из резервуара по короткому трубопроводу вытекает в атмосферу через сопло. Диаметр сопла d_c = 0,5d. Температура воды t°C. Истечение происходит при постоянном напоре над центром тяжести потока Н.

Определить:

1. Скорость истечения из сопла υ, если заданы коэффициенты местных сопротивлений ζ_вх и ζ_кр;

2. Расход в трубопроводе .

Задачу решить методом последовательного приближения, для чего следует задаться ориентировочным значением скорости в трубопроводе υ = 1…2 м/с. Коэффициент сопротивления сопла принять соизмеримым с коэффициентом внезапного сужения потока.

Исходные данные к задаче приведены в табл. 63.

 

Таблица 63

Исходные данные	Единицы измерения	Значение для вариантов
Н	м		2,5	1,4	1,5	2,5	2,75
ℓ	м			7,5
d	мм
Δ	мм	0,1	0,15	0,12	0,14	0,12	0,1
t	°С
ζвх		0,42	0,4	0,5	0,45	0,475	0,5
ζкр		2,5	3,5		4,5		2,5

Задача 64 (рис.3.12). Из резервуара А, на свободной поверхности которого избыточное давление р_м, вытекает вода по короткому трубопроводу и заполняет резервуар В водой. Определить время заполнения водой резервуара В объемом V и расход , если заданы размеры трубопровода ℓ и d, а также коэффициенты местных сопротивлений ζ_вх и ζ_кол. Температура воды t^oC. Задачу решить методом последовательного приближения, задавшись ориентировочно значением скорости движения воды в трубопроводе υ = 5…8 м/с при эквивалентной шероховатости его стенок Δ=0,1мм. Исходные данные к задаче приведены в табл. 64.

Таблица 64

Исходные данные	Единицы измерения	Значение для вариантов
рм	кПа
H	м		2,5	4,5			3,5
ℓ	м
d	мм
V	м3		2,5			7,5
t	оС
ζвх		0,6	0,52	0,55	0,5	0,45	0,4
ζкол		0,2	0,1	0,15	0,14	0,12	0,15

Задача 65 (рис.3.15). Насос нагнетает воду с расходом . Длина всасывающей трубы ℓ, диаметр трубы d. Определить предельную высоту всасывания h, если известны допустимая вакуумметрическая высота, а также коэффициенты местных сопротивлений (клапан с сеткой и плавный поворот). Труба стальная бесшовная после нескольких лет эксплуатации. Исходные данные к задаче приведены в табл. 65.

Таблица 65

Исходные данные	Единицы измерения	Значение для вариантов
	л/с	1,5			4,2	19,4
ℓ	м				9,5
d	мм
ζсетка
ζпов		0,76	0,38	0,39	0,58	0,37	0,37
hдопвак	м	4,5	5,0	6,5	6,0	6,5	6,0
t	оС

Задача 66 (рис.3.16). Определить диаметр трубопровода, присоединенного к напорному резервуару. По трубе вода вытекает в атмосферу. Напор над центром тяжести потока поддерживается постоянным и равным Н. На трубопроводе имеются местные сопротивления ζ_вх и ζ_задв. Построить пьезометрическую и напорную линии. Задачу решить методом последовательного приближения, задавшись ориентировочно значением диаметра трубопровода в диапазоне 40…55 мм. Исходные данные к задаче приведены в табл. 66.

 

Таблица 66

Исходные данные	Единицы измерения	Значение для вариантов
H	м					3,5
ℓ	м
	л/с	2,5		3,5		4,5
ζвх		0,55	0,5	0,4	0,35	0,55	0,5
ζзадв							2,5
λ		0,017	0,021	0,019	0,023	0,02	0,018

Задача 67 (рис.3.17). В баке А жидкость подогревается до определенной температуры t^oC и самотеком по трубопроводу длиной ℓ попадает в кормоцех. Напор в баке равен Н. Каким должен быть диаметр трубопровода, чтобы обеспечивать расход при манометрическом давлении в конце трубопровода не ниже р_м? Построить пьезометрическую и напорную линии. Задачу решить методом последовательного приближения, задавшись ориентировочно значением диаметра трубопровода в диапазоне 35…55 мм. Коэффициент λ находить из формулы Пуазейля при Rе < 2300 и формулы Блазиуса при Rе > 2300. Исходные данные к задаче приведены в табл. 67.

Таблица 67

Исходные данные	Единицы измерения	Значение для вариантов
H	м	6,2		5,8	6,4	6,7
ℓ	м
pм	кПа
	л/с	2,1	3,2	1,4	1,7		3,5
ρ	кг/м3
υ	см2/с	0,048	0,0047	0,25	0,098	0,0049	0,01

Задача 68 (рис.3.18). Какое давление р₁ должен развивать бензонасос, подающий бензин в поплавковую камеру, вход в которую перекрыт иглой, открывающейся при заданном избыточном давлении под иглой р_м. Высота дна камеры над осью насос