Точечное и интервальное оценивание параметров многомерного нормального закона распределения

2016-01-05

814

Обсуждений (0)

0.00 из 5.00 0 оценок

12 3 4 5 Следующая ⇒

КУРСОВАЯ РАБОТА

по дисциплине «Анализ данных»

«Сравнительный анализ регионов Российской Федерации по набору показателей, характеризующих уровень жизни населения»

ОГУ 080100.62.5015.219 ОО

Руководитель работы

канд. экономических наук, доцент

_________________О.И. Бантикова

«_____»_________________2015г.

Исполнитель

студент гр. 13Эк(б)ОП

_________________ И.П. Кравченко

«_____»_________________2015г.

Оренбург 2015

Содержание

Введение…………………………………………………………………………….3

1 Предварительный анализ выборочной совокупности по набору показателей, характеризующих уровень жизни населения

1.1Точечное и интервальное оценивание параметров многомерного нормального закона распределения………………………………

1.2 Робастное оценивание параметров многомерного нормального закона распределения, предварительно исследовав выборочную совокупность на наличие грубых ошибок………………………………………..

2 Корреляционно-регрессионный анализ показателей, характеризующих уровень жизни населения

2.1 Точечное оценивание парных, частных и множественных коэффициентов связи………………………………………………………….

2.2 Проверка значимости коэффициентов связи………………………………

2.3 Построение доверительных интервалов для значимых парных и частных коэффициентов корреляции ……………………………………………………

2.4 Оценка уравнения регрессии………………………………………………

2.5 Экономическая интерпретация полученных результатов………….

3 Классификация регионов РФ по набору показателей, характеризующих уровень жизни населения, методами кластерного анализа

3.1 Определение наиболее подходящего числа классов…………………………………………………………………….

3.2 Классификация объектов методом k-средних…………………

3.3 Сравнение классификаций, полученных иерархическими и итерационным методами кластерного анализа……………………………………………….

3.4 Экономическая интерпретация лучшего разбиения…………………

Заключение

Список использованных источников

Приложения

Введение

Уровень жизни – многогранное явление, которое зависит от множества разнообразных причин, начиная от территории, где проживает население, то есть географических факторов, и заканчивая общей социально-экономической и экологической ситуацией, а также состоянием политических дел в стране. На современном этапе развития экономики России проблемы уровня и качества жизни являются одними из наиболее актуальных. Причинами служат экономические кризисы, на фоне которых в обществе происходит падение уровня и качества жизни основной массы населения россиян.

Целью данной работы является проведение сравнительного анализа регионов Российской Федерации по набору показателей, характеризующих уровень жизни населения.

Поставленная цель решается посредством следующих задач:

1) провести предварительный анализ выборочной совокупности по набору показателей, характеризующих уровень жизни населения;

2) провести корреляционно-регрессионный анализ показателей, характеризующих уровень жизни населения;

3) методами кластерного анализа провести классификацию регионов РФ по набору показателей, характеризующих уровень жизни населения.

Объектом исследования является уровень жизни населения по регионам Российской Федерации.

Предмет исследования – показатели, характеризующие уровень жизни населения по регионам РФ.

Методическую базу составили методы корреляционного, регрессионного, кластерного анализа, табличные и графические методы представления данных. Для обработки данных применялись пакеты прикладных программ «Excel» и «Statistica».

Информационная база – официальные данные Росстата.

Работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и приложений.

Предварительный анализ выборочной совокупности по набору показателей, характеризующих уровень жизни населения

Точечное и интервальное оценивание параметров многомерного нормального закона распределения

Исходной информационной базой служит выборочная совокупность из 80 регионов РФ, уровень жизни которых характеризуется следующим набором показателей (Приложение А):

- cреднедушевые денежные доходы населения в месяц (руб.);

- среднемесячная номинальная начисленная заработная плата (руб.);

-общая площадь жилых помещений в среднем на 1 жителя (кв.м.);

-величина прожиточного минимума (руб.);

-число собственных легковых авто на 1000 насел. (шт.)

Непрерывный случайный вектор имеет k-мерный нормальный закон распределения, если плотность распределения имеет вид:

где ;

- вектор математических ожиданий;

- ковариационная матрица

где – дисперсия случайной величины , ;

– ковариация случайных величин и , являющаяся характеристикой линейной связи случайных величин, , .

Точечной оценкой вектора мат. ожиданий m=

Является вектор выборочных средних , где

С помощью табличного редактора Excel, надстройки Анализа Данных

(Описательная статистика) получили

вектор выборочных средних :

(Приложение Б).

Точечной оценкой ковариационной матрицы является выборочная ковариационная матрица:

= , где = - выборочная дисперсия,

- выборочная ковариация.

Оценку ковариационной матрицы можно получить по формуле:

- смещенная оценка

– несмещенная оценка

Где Y=

С помощью табличного редактора Excel, надстройки Анализа Данных (Ковариация) получаем выборочную ковариационную матрицу:

Анализируя вектор средних значений и оценку ковариационной матрицы, можно сделать следующие выводы: в среднем cреднедушевые денежные доходы населения в месяц составили среднемесячная номинальная начисленная заработная плата - общая площадь жилых помещений в среднем на 1 жителя - величина прожиточного минимума - руб., число собственных легковых авто на 1000 населения - шт.

Наиболее однородная совокупность наблюдается по признаку - общая площадь жилых помещений в среднем на 1 жителя (кв.м.), т.к. = ; наименее однородна совокупность по показателю - среднемесячная номинальная начисленная заработная плата (руб.), т.к. = .

Положительные значения выборочной ковариации свидетельствуют о прямой зависимости между показателями.

Построение доверительной области в форме прямоугольного параллелепипеда для вектора математических ожиданий m= сводится к построению доверительных интервалов с вероятностью , (где k=3 - количество признаков):

- + ;

- + .

= )

=0,98

Осуществив расчеты получили:

20529,68 24664,2; 16405,7 36381,6; 26,61.

Доверительная область для вектора математических ожиданий в форме прямоугольного параллелепипеда представлена в Приложении Г.

Построение доверительной области в форме трапеции можно представить в виде:

; - + , где

Графические представления доверительных интервалов для cреднедушевых денежных доходов населения в месяц, среднемесячной номинальной начисленной заработной плате и общей площади жилых помещений в среднем на 1 жителя представлены в Приложении Д.

1.2 Робастное оценивание параметров многомерного нормального закона распределения, предварительно исследовав выборочную совокупность на наличие грубых ошибок

Существуют следующие методы выявления аномальных наблюдений

- графический анализ - характеризующий поведение объектов по тому или иному показателю;

- «ящик с усами»- это достаточно распространенный разведочный анализ данных о структуре распределения, о наличии выбросов, а также об однородности совокупности.

Проведем выявление аномальных наблюдений по всем пяти показателям графическим методом и методом «ящика с усами».

В Приложении Е представлены графики для анализа совокупностей

х1(cреднедушевые денежные доходы населения в месяц), х2(среднемесячная номинальная начисленная заработная плата), х3( общая площадь жилых помещений в среднем на 1 жителя), х4(величина прожиточного минимума), х5(число собственных легковых авто на 1000 насел.) и ящики с усами для каждой совокупности показателей.

Можно сделать вывод, что экстремальными являются:

- значения среднедушевых денежных доходов населения в месяц: 52695 руб. (Чукотский автономный округ) и 54869 (г. Москва);

- значения среднемесячной номинальной начисленной заработной платы: 51009 руб. (Тюменская область), 55485 руб. (г. Москва), 57121 руб. (Магаданская область), 68261 руб. (Чукотский автономный округ);

- значения наблюдений за величиной прожиточного минимума: 11923 (Якутия), 14084 (Магаданская область), 14384 (Камчатский край), 14766 (Чукотский автономный округ);

- значения наблюдений за число собственных легковых авто на 1000 населения: 73,1 (Чукотский автономный округ) и 484,8 (Камчатский край)

Наблюдения за общей площадью жилых помещений в среднем на 1

жителя 12,9 (республика Тыва), 13,5 (республика Ингушетия), 13,8 (Чеченская республика), 16,5 (республика Дагестан) являются сомнительными.

Используя приемы Смирнова-Граббса, Граббса и Титьена-Мура проверим выдвинутые предположения.

С помощью статистических критериев проверим, являются ли грубыми ошибками значения наблюдений за среднедушевыми денежными доходами населения в месяц 54869 руб. в г. Москве и 52695 руб. в Чукотской автономной области.

Проверим наблюдение 54869 руб. в г. Москве.

а) Критерий Смирнова-Граббса.

Рассматривается признак – среднедушевые денежные доходы населения в месяц и выборка из 80 регионов РФ (n=80).

Данные упорядочиваем по возрастанию значения признака. 54869 руб. в г. Москве.

Выдвигается гипотеза

: совокупность однородна, не является грубой ошибкой;

: совокупность неоднородна, является грубой ошибкой.

По таблице Смирнова-Граббса определим критическую точку

3,001. Если наблюдённое значение больше критического, то гипотеза отклонется, совокупность неоднородна, является грубой ошибкой.

=

, значит гипотеза отклоняется, совокупность неоднородна, наблюдение (54869 руб. в г. Москве ) является грубой ошибкой.

б) Критерий Граббса.

: совокупность однородна, не является грубой ошибкой;

: совокупность неоднородна, является грубой ошибкой.

, где

Определим критическую точку 3,001

22596,94

22188,43

= =0,77

, значит гипотеза, принимается, совокупность однородна, наблюдение (54869 руб. в г. Москве ) не является грубой ошибкой.

в) Критерий Титьена-Мура.

Проверим, являются ли грубыми ошибками значения наблюдений за среднедушевыми денежными доходами населения в месяц 54869 руб. в г. Москве и 52695 руб. в Чукотской автономной области.

: совокупность неоднородна, являются грубыми ошибками;

: совокупность однородна, не являются грубыми ошибками.

, где

= =0,58

0,722

, значит гипотеза, принимается, совокупность неоднородна, 54869 руб. в г. Москве) и 52695 руб. в Чукотской автономной области) являются грубыми ошибками.

, где

=22044,84

= =0,529

, значит гипотеза, принимается, совокупность неоднородна, 54869 руб. в г. Москве) и 52695 руб. в Чукотской автономной области) являются грубыми ошибками.

Проверка остальных наблюдений осуществляется аналогично. По результатам можно сделать выводы:

- наблюдения за среднемесячной номинальной начисленной заработной платой 51009 руб. (Тюменская область), 55485 руб. (г. Москва), 57121 руб. (Магаданская область), 68261 руб. (Чукотский автономный округ) являются грубыми ошибками;

- значения наблюдений за общей площадью жилых помещений (в среднем на 1 жителя) 12,9 (республика Тыва), 13,5 (республика Ингушетия), 13,8 (Чеченская республика), 16,5 (республика Дагестан) являются грубыми ошибками;

- наблюдения за величиной прожиточного минимума 11923 (Якутия), 14084 (Магаданская область), 14384 (Камчатский край), 14766 (Чукотский автономный округ) являются грубыми ошибками;

- наблюдение 73,1 (Чукотский автономный округ) является грубой ошибкой.

Рассчитаем робастные оценки вектора математических ожиданий, используя подход Пуанкаре и Винзора. Наиболее простыми являются оценки по усеченной совокупности данных, остающиеся после отбрасывания грубых ошибок.

Средняя по Пуанкаре вычисляется по формуле:

k – число грубых ошибок, n – объем совокупности, – доля, содержащая засорения (0≤α≤0,5).

Для оценки математического ожидания, согласно Пуанкаре, из выборочной совокупности удаляются (100 α)% минимальных и (100 α)% максимальных наблюдений.

Средняя по Винзору определяется по формуле:

W

k-максимальных и k-минимальных наблюдений проецируются в ближайшую точку оставшихся значений признака.

Рассчитанные средние по усеченным и винзорированным совокупностям данных представлены в Приложении Ж.

Робастной оценкой вектора математических ожиданий по Пуанкаре является вектор .

Анализируя вектор средних значений по Пуанкаре, можно сделать вывод, что в среднем cреднедушевые денежные доходы населения в месяц составили среднемесячная номинальная начисленная заработная плата - общая площадь жилых помещений в среднем на 1 жителя - величина прожиточного минимума - руб., число собственных легковых авто на 1000 населения - шт.

Робастной оценкой вектора математических ожиданий по Винзору является вектор (22313,96; 25945,55; 23,66125; 7405,688; 263,3963)

Анализируя вектор средних значений по Винзору, можно сделать вывод, что в среднем cреднедушевые денежные доходы населения в месяц составили среднемесячная номинальная начисленная заработная плата - общая площадь жилых помещений в среднем на 1 жителя - величина прожиточного минимума - 7405,688 руб., число собственных легковых авто на 1000 населения - 263,3963 шт.

Рассчитаем робастные оценки ковариационной матрицы, используя подход Пуанкаре.

Используя усеченные совокупности данных из Приложения Ж с помощью табличного редактора Excel, надстройки Анализа Данных (Ковариация) получаем выборочную ковариационную матрицу по Пуанкаре:

Рисунок 4 - Результаты расчета выборочной ковариационной матрицы по Пуанкаре

Анализируя оценку ковариационной матрицы по Пуанкаре, можно сделать вывод, что наиболее однородная совокупность наблюдается по признаку - общая площадь жилых помещений в среднем на 1 жителя (кв.м.), т.к. = ; наименее однородна совокупность по показателю - среднемесячная номинальная начисленная заработная плата (руб.), т.к. =47652136. Положительные значения выборочной ковариации свидетельствуют о прямой зависимости между показателями.

Рассчитаем робастные оценки ковариационной матрицы по Винзору.

Используя винзорированные совокупности данных из Приложения Ж с помощью табличного редактора Excel, надстройки Анализа Данных (Ковариация) получаем выборочную ковариационную матрицу по Винзору:

Рисунок 5 - Результаты расчета выборочной ковариационной матрицы по Винзору

Анализируя оценку ковариационной матрицы по Винзору, можно сделать вывод, что наиболее однородная совокупность наблюдается по признаку - общая площадь жилых помещений в среднем на 1 жителя (кв.м.), т.к. = ; наименее однородна совокупность по показателю - среднемесячная номинальная начисленная заработная плата (руб.), т.к. =73260607. Положительные значения выборочной ковариации свидетельствуют о прямой зависимости между показателями.