Построение доверительных интервалов для значимых парных и частных коэффициентов корреляции

Следующим этапом корреляционного анализа является построение с вероятностью доверительных интервалов для значимых коэффициентов корреляции и частных коэффициентов корреляции с помощью z-преобразования Фишера.

Пусть частный коэффициент корреляции значим. Ставится задача с вероятностью построить доверительный интервал для . Для решения этой задачи сначала стоится доверительный интервал для . Для этого над оценкой частного коэффициента корреляции осуществляется z-преобразование Фишера по формуле:

.

Статистика распределена по нормальному закону: . Тогда для построения доверительного интервала для используется статистика:

Далее решается уравнение , из которого получают – квантиль уровня стандартного нормального закона распределения. Из неравенства находят доверительный интервал для :

.

Обозначим левую границу доверительного интервала для через , а правую – через . Для получения доверительного интервала для над левой и правой границами доверительного интервала для осуществляют преобразование, обратное z-преобразованию Фишера. Левая граница доверительного интервала для является решением уравнения , правая граница доверительного интервала для является решением уравнения .

Аналогичным образом строится доверительный интервал для значимого коэффициента корреляции . При этом используется статистика .

Рассмотрим пример построения доверительного интервала для статистически значимого коэффициента корреляции , оценка которого составляет 0,915.

Осуществим над 0,915 z-преобразование Фишера , для этого воспользуемся функцией ФИШЕР(X) табличного редактора Excel (рисунок 13):

Рисунок 11 – Осуществление z-преобразования Фишера в

табличном редакторе Excel

Получим 1,5574. Далее строится доверительный интервал для :

,

где – квантиль уровня стандартного нормального закона распределения.

Учитывая, что , определим квантиль уровня стандартного нормального закона распределения, воспользовавшись функцией НОРМ.СТ.ОБР(вероятность) табличного редактора Excel (рисунок 14).

Рисунок 12 – Определение квантили стандартного нормального закона распределения в табличном редакторе Excel

Получили , после чего определим границы доверительного интервала для :

1,5574 - < <1,5574+ или 1,334< <1,78

Для получения доверительного интервала для над левой и правой границами доверительного интервала для осуществим преобразование, обратное z-преобразованию Фишера, для чего воспользуемся функцией ФИШЕРОБР(Y) пакета Excel.

Рисунок 13 – Осуществление обратного z-преобразования Фишера для левой границы доверительного интервала в табличном редакторе Excel

Получили, что нижняя граница доверительного интервала для равна 0,87.

Рисунок 14– Осуществление обратного z-преобразования Фишера для правой границы доверительного интервала в табличном редакторе Excel

Верхняя граница доверительного интервала для равна 0,945. Таким образом, доверительный интервал для имеет вид:

0,87 0,945

Аналогичным образом строятся доверительные интервалы для остальных статистически значимых коэффициентов корреляции и частных коэффициентов корреляции (Приложение К).