Метод решения определенного интеграла от нечетной функции по симметричному относительно нуля отрезку
Вам понравится. Рассмотрим тот же определенный интеграл с симметричным относительно нуля отрезком интегрирования: . Если подынтегральная функция f(x) является нечётной, то . Почему такой интеграл равен нулю?
Пример 6 Вычислить определенный интеграл Выполним чертеж:
Вот, заодно и график функции , который ещё нигде у нас не встречался, график представляет собой перевёрнутую кубическую параболу. Проверим нашу функцию на четность/нечетность: , значит, данная функция является нечётной, и её график симметричен относительно начала координат. Из симметрии графика следует равенство площадей, которые заштрихованы красным и синим цветом. При вычислении определенного интеграла площадь, которая заштрихована синим цветом, формально является отрицательной. А площадь, которая заштрихована красным цветом – положительной. Поскольку площади равны и формально противоположны по знаку, то они взаимно уничтожаются, следовательно . И еще раз подчеркиваем разницу между заданиями: 1) Любой определенный интеграл (само собой он должен существовать) – это всё равно формально площадь(пусть даже отрицательная). В частности, поэтому , так как в силу нечётности функции площади взаимно уничтожатся. Что и проиллюстрировано на конкретном примере. 2) Задача на нахождение площади – это совершенно другая задача. Так, если нам предложено найти площадь фигуры в данном примере, то её следует вычислить, как: .
Еще несколько коротких примеров на тему данного правила: И, аналогично для любой нечетной функции и симметричного относительно нуля отрезка. Применять ли данный метод на практике? На самом деле вопрос не такой простой. Когда вам предложен сложный пример с большим количеством вычислений, то можно, и даже уместно указать, что такой интеграл равен нулю, сославшись на нечетность функции и симметричность отрезка интегрирования относительно нуля. Как говорится, знание – сила, а незнание – рабочая сила. Но когда вам предложен короткий пример, то преподаватель вполне обоснованно может заставить прорешать его подробно: взять интеграл и подставить пределы интегрирования по формуле Ньютона-Лейбница. Всё зависит от постановки задачи. Например, Вам предложено вычислить тот же неопределенный интеграл . Если вы сразу запишите, что и поясните словами, почему получается ноль, то это будет не очень хорошо, поскольку перед Вами стояла задача вычислить. Намного лучше «прикинуться дурачком» и провести полное решение: . То, что интеграл равен нулю, вы будете знать заранее. И это знание 100 %-но позволит избежать ошибки. С другой стороны, когда в тестовом задании спрашивают: «Чему равен интеграл?», то отвечать нужно быстро, на основе всего, что знаешь по этому вопросу.
Популярное: Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... ©2015-2020 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (1294)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |