Решение систем линейных уравнений методом двойной фактори-
Зации Решение ищем в виде: Двойная факторизация - представление обратной матрицы в виде про-изведения элементарных верхних и нижних треугольных матриц, в которых не равны нулю элементы только одной строки или одного столбца. Такие матрицы называются факторными. Произведение факторных матриц дает обратную матрицу.
Рассмотрим структуру факторных матриц: 1) Левая факторная матрица на к-м шаге факторизации Lk.
i
2) Правая факторная матрица Rк.
В к-ой строке элементы, лежащие правее диаго-нали, не равны нулю. Все остальные элементы матрицы
Таких матриц может быть n-1. Элементы мат-рицы R вычисляются по формуле:
k=1…n, j=k+1…n, i=k+1…n.
Для квадратной матрицы А размерностью существует n левых и (n-1) правых факторных матриц, таких, что их произведение дает обратную мат-рицу: Здесь: А – исходная матрица; L – левые факторные матрицы, полученные на 1, 2, …, n шагах факторизации; R – правые факторные матрицы. Существует эффективные алгоритмы перемножения факторных матриц, в которых нулевые элементы и единицы на диагонали не хранятся, а подразу-меваются в ходе вычислений. В памяти хранятся и участвуют в вычислениях только значащие элементы матриц.
Алгоритм факторизации: 1) Выбор очередного ведущего элемента акк, определяющего опорную строку и опорный столбец; 2) На основе элементов опорной строки и опорного столбца пересчитываются все остальные элементы матрицы по формуле:
(5) 3) Пересчитываем элементы опорного столбца по формуле (1); 4) Пересчитываем элементы опорной строки по формуле (3); 5) Пересчитываем ведущий элемент по формуле (2) L1 … Lк … Ln
6) Если таким образом получены n левых и (n-1) правая факторная мат-рица, то переходим к пункту 7, иначе - возврат к пункту 1; В результате все поле матрицы будет заполнено элементами факторных мат-риц L и R. Полученная матрица называется факторизованной; 7) Расчет обратной матрицы А-1 перемножением факторных матриц по формуле (4); 8) Решение системы уравнений по формуле: .
Примечания: 1. Метод использует простые преобразования; 1.2. Объем занимаемой памяти ЭВМ зависит от степени разрежен-ности матрицы и последовательности выбора ведущих элемен-тов; 1.3. Возможность реализации серии расчётов режимов при меняющихся значениях элементов вектора І и неизменной матрице проводимостей Y.
Примеры:
Решение системы:
Решаем СЛАУ методом Гаусса. Прямой ход – 2 шага исключения неиз-вестных: 1-й шаг Умножаем 2-е уравнение на -2 и складываем его с 1-м. При этом исключается х1 из 2-го уравнения. Умножаем 1-е уравнение на 5, а 3-е на -2 и складываем их. Исключается х1 из 3-го уравнения. 2-й шаг Умножаем 2-е уравнение на -2 и складываем его с 3-м. При этом исключается х2 из 3-го уравне- ния.
Получили эквивалентную систему уравнений с треугольной матрицей коэффициентов. Обратный ход: Из последнего уравнения находим х3. Подставляем его во 2-е уравнение и из него находим х2. Подставляем х2 и х3 в 1-е уравнение и определяем х1. Для проверки подставляем х1 ,х2, х3 в исходную систему.
Решаем СЛАУ методом Жордана Нужно выполнить 3 шага исключения неизвестных. В результате их исходная прямоугольная матрица коэффициентов преоб-разуется в единичную. 1-й шаг. Делим 1-е уравнение на коэффициент при х1, т.е. 2. и исключаем х1 из уравнений 2 и 3. Получаем эквивалентную СЛАУ: => 2-й шаг. Делим 2-е уравнение на коэффициент при х2 , т.е. 7 и исключаем х2 из уравнений 1 и 3. Получаем эквивалентную систему: => 3-й шаг. Делим 3-е уравнение на коэффициент при х3 , т.е. -5.7 и исклю-чаем неизвестную х3 из уравнений 1 и 2. Получаем эквивалентную систе-му уравнений с единичной матрицей коэффициентов: => Результат решения СЛАУ очевиден: х1 = х2 = х3 =1. Т.е. искомые значения неизвестных равны правым частям уравнений сис-темы, полученным после n-го шага исключения неизвестных.
Решаем СЛАУ методом LU - факторизации Для разложения матрицы коэффициентов на две треугольные – реализуем алгоритм Краута. Выбираем опорный элемент. Он равен 2. Делим на него элементы опорной (1-й) строки. Опорный столбец (1-й) оставляем без изменений. Пересчитываем остальные элементы матрицы. Это 1-й шаг факторизации.
Снова выбираем опорный элемент. Он равен -7. Делим на него элемент опорной (2-й) строки. Опорный столбец (2-й) оставляем без изменений. Пересчитываем остальные элементы матрицы. Это 2-й шаг факторизации.
Из полученной матрицы выделяем нижнюю треугольную матрицу L (включающую и диагональные элементы) и верхнюю треугольную матрицу U (с единицами на диагонали). Их перемножение дает исходную матрицу коэффициентов.
Составляем 2 вспомогательные системы уравнений с использованием этих треугольных матриц: LY=B ; Ux=Y , или
Y1=2.5; Решаем эту систему и находим Y1-7Y2=1; значения Y . Y2= 5Y1-14Y2-5.49Y3=4
Подставляем их значения во вторую систему, решаем её и определяем искомые значения Х : X3=1.0025; X2=1.0009; X1=1.00087 Для проверки – подставляем их исходную систему уравнений.
Решаем СЛАУ методом двойной факторизации Определяем обратную матрицу коэффициентов. 1-й шаг факторизации: Выбираем ведущий элемент – он равен 2. Ведущие строка и столбец – 1-я строка и 1-й столбец. Выбираем
ведущий элемент он равен 2. Ведущие строки и столбец -1-я строка и 1-й столбе Пересчитываем элементы, не входящие в опорную строку и столбец по формуле (1) (- аналогично алгоритму Краута):
Пересчитываем по формулам (1) и (3) элементы ведущего столбца и строки, т.е. делим их на ведущий элемент:
Пересчитываем ведущий элемент по формуле (2):
В полученной матрице выделяем элементы первой левой (L1) и первой правой (R1) факторных матриц.
2-й шаг факторизации: Выбираем очередной ведущий элемент. Он равен -7. Ведущая строка и столбец – 2-й. Пересчитываем элем6енты, не входящие входивший в ведущие строки и столбцы:
Пересчитываем элементы ведущего столбца и строки: Пересчитываем ведущий элемент: В полученной матрице выделяем элементы очередных левой (L2) и правой (R2) факторных матриц.
3-й шаг факторизации: Выбираем ведущий элемент. Это -5,5. Пересчитываем его по формуле (2). Получаем факторизованную матрицу: . Её элементы – это элементы всех факторных матриц. Выделяем факторные матрицы. Обратная матрица определяется: R1 R2 L3 L2 L1 R1∙R2 L3 L2 L1 R1∙R2∙L3 L2 L1 R1∙R2∙L3∙L2 L1 A-1
Для проверки – перемножим исходную и обратную матрицы: А∙А-1
Решаем систему уравнений:
X=A-1∙B
Популярное: Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (756)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |