Пусть функция F в точках x0,x1,…,xnимеет значения F(x0),F(x1),…,F(xn) (2). Требование близости табличных значений y0,y1,…,yn и значений (2) равносильно следующему: сумма квадратов
S=(y0-F(x0))2+(y1-F(x1))2+…+(yn-F(xn))2 (3)
должна быть наименьшей.
В качестве приближающих функций в зависимости от характера точечного графика функции f часто используют следующие функции:
1) F(x)=a1x+a0 5) F(x)=1/(cx+m)
2) F(x)=a2x2+a1x+a0 6) F(x)=clnx+m
3) F(x)=cxm 7) F(x)=c/x+m
4) F(x)=cemx 8) F(x)=x/(cx+m)
Для нахождения коэффициентов a0 и a1 линейной функции из условия (3) получается система двух линейных уравнений:
, где , (4)
Коэффициенты квадратичной функции a0, a1, a2 находятся из аналогичной системы
при тех же обозначениях Sk и tk (5)
Нахождение приближающих функций вида 3)-8) сводится к нахождению линейной функции F(u)=a1u+a0 путем ввода новой переменной u по следующим правилам:
Вид функции F(x)
Вид переменной u и функции F(u)
Преобразование исходной таблицы
Выражения c и m через a0 и a1
F(x)=cxm
u=ln xF(u)=lnF(x)
x®lnx;y®lny
c=exp(a0);m=a1
F(x)=c×emx
u=x;F(u)=lnF(x)
x не меняется
y®lny
c=exp(a0);m=a1
F(x)=1/(cx+m)
U=x;F(u)=1/F(x)
x не меняется
y®1/y
c=a1;m=a0
F(x)=cln x+m
u=lnx;F(u)=F(x)
x® lnx;y не меняется
c=a1;m=a0
F(x)=c/x+m
u=1/x;F(u)=F(x)
x®1/x;y®
c=a1;m=a0
F(x)=x/(cx+m)
u=1/x;F(u)=1/F(x)
x®1/x;y®1/y
c=a0;m=a1
Решение одного варианта
По заданной таблице значений x и y, полученных экспериментально, построить методом наименьших квадратов две различные эмпирические формулы и сравнить качество полученных приближений
x
1.1
1.7
2.4
3.0
3.7
4.5
5.1
5.8
y
0.3
0.6
1.1
1.7
2.3
3.0
3.8
4.6
Точечный график изображен на рисунке:
Составим теперь систему вида (4): ,
где
Решив систему, получаем: a0=-0.968, a1=0.921. Приближающая функция имеет вид:
F1(x)=0.921x -0.968 (6)
Для нахождения коэффициентов c и m степенной функции обозначим новые переменные u и F(u), т.е. u=lnx, F(u)=lnF(x), F(u)=lnc+mu=a0+a1u. По исходной таблице составляется новая таблица из логарифмов значений x и y:
u
F(u)
uF(u)
u2
0,095
-1,204
-0,114
0,009
0,531
-0,511
-0,271
0,282
0,875
-0,095
-0,083
0,766
1,099
0,531
0,584
1,208
1,308
0,833
1,090
1,711
1,504
1,099
1,653
2,262
1,629
1,335
2,175
2,654
1,758
1,526
2,683
3,091
S
8,799
3,514
7,715
11,981
По числовым данным из новой таблицы составляется система уравнений вида (4):
Ее решения a1=1.671, a0=-1.399.
Находим значения параметров c и m: m=1.671, c=exp(-1.399)=0.247.
Приближающая функция имеет вид
F2(x)=0.247x1.671 (7)
Для сравнения качества приближений (6) и (7) вычислим суммы квадратов отклонений:
x
y
F1(x)
e1
e12
F2(x)
e2
e22
1,1
0,3
0,0451
0,2549
0,0650
0,2894
0,0106
0,0001
1,7
0,6
0,5977
0,0023
0,0000
0,5991
0,0009
0,0000
2,4
1,1
1,2424
-0,1424
0,0203
1,0662
0,0338
0,0011
1,7
1,795
-0,095
0,0090
1,5483
0,1517
0,0230
3,7
2,3
2,4397
-0,1397
0,0195
2,1984
0,1016
0,0103
4,5
3,1765
-0,1765
0,0312
3,0493
-0,0493
0,0024
5,1
3,8
3,7291
0,0709
0,0050
3,7590
0,0410
0,0017
5,8
4,6
4,3738
0,2262
0,0512
4,6606
-0,0606
0,0037
0,2011
0,0424
Как следует из последней таблицы, приближение в виде степенной функции в данном случае предпочтительнее.
Задание
По заданной таблице значений x и y, полученных экспериментально, построить методом наименьших квадратов две различные эмпирические формулы и сравнить качество полученных приближений.