Моделирование неоднородных пористых поверхностей

Поскольку поверхности реальных объектов имеют случайный, иногда сильно изрезанный характер, их моделирование при помощи регулярных фракталов типа кривой Кох зачастую невозможно. Далее приведена модель образования фрактальных пористых систем, которые получили название губки Менгера (по фамилии ученого, впервые предложившего такой механизм моделирования фрактальных объектов).

Рис. 2.14. Поверхность, образованная ямками и впадинами губки Менгера

Губка Менгера образуется следующим образом. Выбирается куб с длиной стороны, равной h = L . Затем сторона куба делится на три части и получается, что в объеме куб состоит из 3? 3? 3 = 27 меньших кубиков со стороной h ₁=L /3. Из центральной части объема исходного куба удаляются 7 таких меньших кубиков (рис. 2.15а). В каждом из оставшихся 20 кубиков совершается процедура, аналогичная вышеописанной. Объем оставшейся части куба на каждом этапе построения можно определить по формулам:

1 этап V₁=20(L /3)³, h₁= L/3

. . .

n этап V_n=20ⁿ(L /3ⁿ)³, h _n= L /3ⁿ (2.22)

Исключая n, получим следующий результат:

V _h =h³(L /h )^D (2.23)

Здесь D = ln20/ln3 = 2,726833.

Еще более реалистичные модели пористых систем можно образовать из модели фрактала под названием обобщенной губки Менгера (рис. 2.15б). Этот фрактал получается следующим образом. Сторона ребра исходного куба размера L делится на К частей. Затем из центра куба изымается р кубиков со стороной ребра L /К. Подсчитывается доля оставшихся. Затем та же процедура изъятия р кубиков осуществляется уже для каждого оставшегося кубика размером L/К. Эта процедура продолжается n раз. На первом этапе доля оставшихся кубиков определяется следующим выражением:

а)	б)
Рис. 2.15 Пористый объем смоделированный на основе: а-регулярной гибки Менгера; б-обобщенной статистической губки Менгера

12р* ((k - p)/2)²+8* ((k -p)/2)³ = k³- 3kp²+ 2p³. (2.24)

Число кубиков масштаба L /kⁿ равно (k³-3kp²+2p³)ⁿ. Объем обобщенной губки Менгера дается выражением:

V _h = (k³- 3kp²+2p³)ⁿ (2.25)

(L/kⁿ)³ = h³(L/h)^D (2.26)

Здесь:

D= [ln(k³-3kp²+2p³)]/lnk (2.27)

D - фрактальная размерность обобщенной губки Менгера (0 < р £ k-2).

Классической губке Менгера соответствует К=3, р=1. Исследование выражения для D показывает, что 2< D< 3, причем р=1 соответствует случаю малой доли пор с D близкой к трем. Другой предельный случай:

D= ln[4(3k - 4)]/ lnk (2.28)

соответствует случаю развитой пористости или большей доли пор. Под пористостью здесь понимается доля изъятых кубов из исходного куба объема L³. Cуммарная площадь порового пространства для обобщенной губки Менгера также фрактальна и характеризуется параметром Ds (фрактальной размерностью). Расчет площади производится с помощью выражения:

S_h= G_f[(L/h )^D-2-1]. (2.29)

Здесь G_f- геометрический форм-фактор:

G_f = [12p*(k - p)]/(N- k²) = [12p*(k - p)]/(k³- 3kp²+ 2p³- k²), (2.30)

D определяется формулой, описанной выше для фрактальной размерности обобщенной губки Менгера. Значит, между фрактальными размерностями D и Ds существует корреляция:

Ds= D-2 (2.31)

Следует отметить, что для произвольного объемного фрактала такой простой связи между Sh и Vh не существует. Здесь для каждого фрактала необходим свой предварительный анализ, определяемый геометрической формой фрактала.

Формула для площади порового пространства здесь может быть переписана в виде:

S _h = G_fh [(L/h )^D - (L/h )²] (2.32)

Можно полагать, что классификация фракталов по различным геометрическим свойствам в приложении к реальным объектам, в том числе и к поверхностям раздела конденсированных сред, уже практически сложилась. Сейчас существует целый ряд экспериментальных методов измерения и наблюдения фрактальных структур, результаты которых затем в каждом отдельном случае сопоставляются с различными математическими и компьютерными моделями. Аппарат фрактальной геометрии будет часто необходим нам в дальнейших главах для описания явлений формирования и разрушения конструкционных материалов.