Решение однородных дифференциальных уравнений
Однородное дифференциальное уравнение можно решить с помощью подстановки y = ux, которая преобразует однородное уравнение в уравнение с разделяющимися переменными.
преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными посредством переноса начала системы координат в точку пересечения прямых линий, заданных в уравнении. Если указанные прямые параллельны, то дифференциальное уравнение сводится к уравнению с разделяющимися переменными путем замены переменной:
1.Решить дифференциальное уравнение .
Нетрудно заметить, что многочлены P(x,y) и Q(x,y), соответственно, при dx и dy, являются однородными функциями первого порядка. Поэтому, данное дифференциальное уравнение также будет однородным. Положим y = ux, где u − некоторая новая функция, зависящая от x. Тогда Подставляя это в дифференциальное уравнение, получаем Следовательно, Разделим обе части уравнения на x: Выполняя деление x, мы могли потерять решение x = 0. Прямая подстановка показывает, что x = 0действительно является одним из решений нашего уравнения. Интегрируем последнее выражение: где C − постоянная интегрирования. Возвращаясь к старой переменной y, можно записать: Таким образом, уравнение имеет два решения:
2.Решить дифференциальное уравнение .
Заметим, что корень x = 0 не принадлежит области определения заданного дифференциального уравнения. Перепишем уравнение в следующей форме: Как видно, уравнение является однородным. Сделаем замену y = ux. Следовательно, Подставляем полученное выражение в дифференциальное уравнение: Разделим обе части на x ≠ 0: В результате мы получаем уравнение с разделяющимися переменными: На следующем шаге проинтегрируем левую и правую части уравнения: Следовательно, Постоянную C здесь можно записать как ln C1 (C1 > 0). Тогда Если C1 = 0, то ответом является функция y = xe. Легко убедиться, что эта функция будет также и решением дифференциального уравнения. В самом деле, подставляя в дифференциальное уравнение, находим: Таким образом, все решения дифференциального уравнения можно представить одной формулой: где C − произвольное действительное число. 3.Решить дифференциальное уравнение .
Здесь мы снова встречаемся с однородным уравнением. В самом деле, запишем его в виде: Сделаем подстановку y = ux. Тогда y' = u'x + u. Подставляя y и y' в исходное уравнение, получаем: Разделим обе части уравнения на ux2. Заметим, что корень x =0 не является решением, но можно убедиться, что корень u = 0 (или y = 0) будет одним из решений данного дифференциального уравнения. В результате получаем: Интегрируя, находим общее решение: Учитывая, что , последнее выражение можно записать в форме Обратная функция x(y) имеет явный вид: Поскольку C − произвольное число, знак "минус" перед этой константой можно заменить на знак "плюс". Тогда получаем: Таким образом, дифференциальное уравнение имеет решения:
4.Решить дифференциальное уравнение .
Из вида правой части уравнения следует, что x ≠ 0 и y ≠ 0. Можно сделать подстановку: y = ux, y' = u'x + u, которая приводит к уравнению с разделяющимися переменными:
Интегрируя данное уравнение, получаем: Переобозначим 2C просто как постоянную C. Следовательно, Итак, общее решение записывается в виде:
5.Найти общее решение дифференциального уравнения . Решение. Как видно, данное уравнение является однородным. Поэтому, воспользуемся подстановкой y = ux,y' = u'x + u. В результате уравнение преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными: Разделим обе части на x3. (Заметим, что корень x = 0 не является решением). Теперь можно проинтегрировать последнее уравнение: Так как u = y/x, то решение записывается в виде: Отсюда следует, что Переобозначим для краткости: eC = C1, (C1 > 0). Тогда решение в неявной форме определяется уравнением: где постоянная C1 > 0.
Популярное: Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (704)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |