Построение динамических характеристик замкнутой системы

По ранее выполненным вычислениям передаточная функция замкнутой системы:

Для построения амплитудно-частотной характеристики замкнутой системы автома­тического управления примем р = ωj, тогда:

Дальнейшие вычисления и построения осуществляем по аналогии с разомкнутой системой автома­тического управления.

Отделяем в выражении числителя и знаменателя действительную и мнимую части:

Для выделения в этом комплексном числе действительную и мни­мую части необходимо умножить числитель и знаменатель на комплексно-сопряженное значение знаменателя:

Построение Амплитудно-фазовой частотной характеристики замкнутой системы.

Рис. 7. Амплитудно-фазовая частотная характеристика замкнутой системы.

Рис. 8. Амплитудно-частотная характеристиказамкнутой системы.

Рис. 9. Фазо-частотная характеристиказамкнутой системы.

Рис. 10. Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика (ЛАЧХ) замкнутой системы.

Рис. 11. Логарифмическая фазо-частотная характеристика (ЛФЧХ) замкнутой системы.

Таблица 2.

Значения Rе(ω), Im(ω), А (ω), φ (ω), A_L (ω), φ _L (ω), Re D(jω), im D(jω) для замкнутой системы автоматического управления в зависимости от частоты ω

Устойчивость системы.

Автоматическая система считается устойчивой, если она занимает требуемое состояние (положение) и остается в нем по желанию пользователя. В противном случае АС будет неустойчивой.

Существует много критериев устойчивости объекта в зависимости от типов его моделей. Для линейных объектов применяют два подхода к определению устойчивости:

− прямой (непосредственный);

− косвенный.

При прямом подходе записывают любой процесс управления и, зная его желаемое состояние, исходя из определения устойчивости и неустойчивости, делают заключения о его качествах.

Однако прямой метод исследования устойчивости объекта не всегда целесообразен, а иногда и невозможен. Это бывает в случае, когда пользователь работает только с его математической моделью, в виде, например, дифференциальных уравнений, передаточных функций и т.д. В этой ситуации для исследования устойчивости объекта используются обычно следующие косвенные методы:

− алгебраический;

− корневой;

− частотный.

Количественная оценка устойчивости систем производится с помощью системы показателей, характеризующих запас устойчивости. Запас устойчивости – это количественная характеристика степени удаления системы от границы устойчивости.

Обеспечение запаса устойчивости необходимо по следующим причинам:

при составлении уравнений связи отдельных элементов допускается некоторая идеализация протекающих в них физических процессов (учитываются только главные факторы и отбрасываются второстепенные);

− линеаризация нелинейных уравнений приводит к их еще большей приближенности;

− конструктивные параметры элементов, входящие в коэффициенты уравнений, определяются с некоторой погрешностью;

− при эксплуатации систем возможны изменения параметров элементов вследствие температурных колебаний, старения, нестабильности и т.д.

Наличие определенного запаса устойчивости гарантирует сохранение устойчивости системы при изменении ее параметров в определенных пределах.

Чем больше запас устойчивости, тем меньше вероятность того, что система в процессе эксплуатации станет неустойчивой. Запас устойчивости необходим еще и потому, что он определяет характер переходных процессов в системах. Наличие определенного запаса устойчивости обеспечивает работу реальной системы в области устойчивости с требуемым качеством переходного процесса.

Различаются следующие основные показатели запаса устойчивости:

− запас устойчивости по амплитуде;

− запас устойчивости по фазе;

Формулировки показателей устойчивости:

Устойчивость АС – свойство системы обеспечить сколь угодно малое отклонение возмущенного движения при достаточно малых начальных возмущениях за конечный отрезок времени.

Критерии устойчивости АС – математически сформулированные правила, позволяющие исследовать устойчивость системы без вычисления корней характеристического уравнения.

Характеристическое уравнение системы – уравнение, получаемое приравниванием к нулю числителя или знаменателя передаточной функции системы (характеристического многочлена дифференциального уравнения). Соответственно, получается характеристическое уравнение разомкнутой и замкнутой систем.