Решение системы с помощью обратной матрицы

Для изучения данного параграфа необходимо уметь раскрывать определители, находить обратную матрицу и выполнять матричное умножение.

Пример 11:

Решить систему с матричным методом

.

Решение: Запишем систему в форме матричного произведения: , где

.

Пожалуйста, посмотрите на систему уравнений и на матрицы. По какому принципу записываем элементы в матрицы, думаем, всем понятно.

Единственный комментарий: если бы в уравнениях отсутствовали некоторые переменные, то на соответствующих местах в матрице нужно поставить нули.

Решение системы найдем по формуле: . Согласно формуле нам нужно найти обратную матрицу и выполнить матричное умножение .

Алгоритм нахождения обратной матрицы подробно разобран на уроке Вычисление обратной матрицы. Обратную матрицу найдем по формуле: где |A| – определитель матрицы A, Ã – матрица алгебраических дополнений исходной матрицы, а Ã^T – присоединённая матрица, или транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы A.

Сначала разбираемся с определителем:

.

Здесь определитель раскрыт по первой строке.

Внимание! Если , то обратной матрицы не существует, и решить систему матричным методом невозможно.В этом случае для получения соотношений между неизвестными применяетсяметод исключения неизвестных (метод Гаусса).

Теперь нужно вычислить 9 миноров и записать их в матрицу миноров

.

Как мы уже обозначали, первая цифра в символе элемента – это номер строки, в которой находится данный элемент, а вторая цифра – это номер столбца, в котором находится данный элемент:

Так, например, элемент M₁₃ находится на пересечении первой строки и третьего столбца, а элемент M₃₂ находится на пересечении третей строки и второго столбца.

, ,

, , , ,

Порядок расчета миноров совершенно не важен, здесь мы их вычислили слева направо по строкам. Таким образом:

– это матрица миноров соответствующих элементов матрицы A;

– матрица алгебраических дополнений, а

– транспонированная матрица алгебраических дополнений.

Выполненные шаги мы подробно разбирали на уроке Вычисление обратной матрицы. Теперь записываем обратную матрицу:

Не вносим в матрицу, это серьезно затруднит дальнейшие вычисления.Деление нужно было бы выполнить, если бы все числа матрицы делились на 60 без остатка. А вот внести минус в матрицу в данном случае нужно, это, наоборот – упростит дальнейшие вычисления. Осталось провести матричное умножение.