Рассмотрим некоторые особенности алгоритма Гаусса
Первая особенность состоит в том, что иногда в уравнениях системы отсутствуют некоторые переменные, например: Как правильно записать расширенную матрицу системы? Об этом моменте мы уже рассказывали на уроке Правило Крамера. Матричный метод. В расширенной матрице системы на месте отсутствующих переменных ставим нули: Кстати, это довольно легкий пример, поскольку в первом столбце уже есть один ноль, и предстоит выполнить меньше элементарных преобразований. Вторая особенность состоит вот в чём. Во всех рассмотренных примерах на «ступеньки» мы помещали либо –1, либо +1. Могут ли там быть другие числа? В ряде случаев могут. Рассмотрим систему: . Здесь на левой верхней «ступеньке» у нас двойка. Но замечаем тот факт, что все числа в первом столбце делятся на 2 без остатка – и другая двойка и шестерка. И двойка слева вверху нас устроит! На первом шаге нужно выполнить следующие преобразования: ко второй строке прибавить первую строку, умноженную на (–1); к третьей строке прибавить первую строку, умноженную на (–3). Таким образом, мы получим нужные нули в первом столбце. Или еще такой условный пример: . Здесь тройка на второй «ступеньке» тоже нас устраивает, поскольку 12 (место, где нам нужно получить ноль) делится на 3 без остатка. Необходимо провести следующее преобразование: к третьей строке прибавить вторую строку, умноженную на (–4), в результате чего и будет получен нужный нам ноль. Метод Гаусса универсален, но есть одно своеобразие. Уверенно научиться решать системы другими методами (методом Крамера, матричным методом) можно буквально с первого раза – там очень жёсткий алгоритм. Но вот, чтобы уверенно себя чувствовать в методе Гаусса, следует «набить руку», и прорешать хотя бы 5-10 десять систем. Поэтому поначалу возможны путаница, ошибки в вычислениях, и в этом нет ничего необычного или трагического. Для желающих более сложный пример для самостоятельного решения: Пример 5 Решить методом Гаусса систему 4-х линейных уравнений с четырьмя неизвестными. Такое задание на практике встречается не так уж и редко. Думаю, даже чайнику, который обстоятельно изучил эту страницу, интуитивно понятен алгоритм решения такой системы. Принципиально всё так же – просто действий больше. Случаи, когда система не имеет решений (несовместна) или имеет бесконечно много решений, рассмотрены на уроке Несовместные системы и системы с общим решением. Там же можно закрепить рассмотренный алгоритм метода Гаусса.
Решения и ответы:
Пример 2: Запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду. Выполненные элементарные преобразования: (1). Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на (–2). К третьей строке прибавили первую строку, умноженную на (–1). Внимание! Здесь может возникнуть соблазн из третьей строки вычесть первую, крайне не рекомендую вычитать – сильно повышается риск ошибки. Только складываем! (2). У второй строки сменили знак, умножили на (–1). Вторую и третью строки поменяли местами. Обратите внимание, что на «ступеньках» нас устраивает не только единица, но еще и (–1), что даже удобнее. (3). К третьей строке прибавили вторую строку, умноженную на 5. (4). У второй строки сменили знак, умножили на (–1). Третью строку разделили на 14. (5). Обратный ход: Ответ: .
Пример 4: Запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду: Выполненные преобразования: (1). К первой строке прибавили вторую. Таким образом, организована нужная единица на левой верхней «ступеньке». (2). Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на 7. К третьей строке прибавили первую строку, умноженную на 6. Со второй «ступенькой» всё хуже, «кандидаты» на неё – числа 17 и 23, а нам нужна либо единичка, либо (–1). Преобразования (3) и (4) будут направлены на получение нужной единицы (3). К третьей строке прибавили вторую, умноженную на (–1). (4). Ко второй строке прибавили третью, умноженную на (–3). Нужная вещь на второй ступеньке получена. (5). К третьей строке прибавили вторую, умноженную на 6. (6). Вторую строку умножили на (–1), третью строку разделили на (-83). (7). Обратный ход: , , . Ответ: .
Пример 5: Запишем матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду:
Выполненные преобразования: (1). Первую и вторую строки поменяли местами. (2). Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на (–2). К третьей строке прибавили первую строку, умноженную на (–2). К четвертой строке прибавили первую строку, умноженную на (–3). (3). К третьей строке прибавили вторую, умноженную на 4. К четвертой строке прибавили вторую, умноженную на –1. (4). У второй строки сменили знак. Четвертую строку разделили на 3 и поместили вместо третьей строки. (5). К четвертой строке прибавили третью строку, умноженную на (–5). (6). Обратный ход: Ответ:
Популярное: Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... ©2015-2020 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (903)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |