Возведение комплексных чисел в степень
Пример 9: Возвести в квадрат комплексное число Здесь можно пойти двумя путями, первый способ это переписать степень как произведение множителей и перемножить числа по правилу умножения многочленов. Второй способ состоит в применение известной школьной формулы сокращенного умножения : Для комплексного числа легко вывести свою формулу сокращенного умножения: Что делать, если комплексное число нужно возвести, скажем, в 5-ую, 10-ую или 100-ую степень? В алгебраической форме проделать такой трюк практически невозможно, действительно, подумайте, как вы будете решать пример вроде ? И здесь на помощь приходит тригонометрическая форма комплексного числа и так называемая формула Муавра: Если комплексное число представлено в тригонометрической форме , то при его возведении в натуральную степень n справедлива формула:
Пример 10 Дано комплексное число , найти . Что нужно сделать? Сначала нужно представить данной число в тригонометрической форме. Внимательные читатели заметили, что в Примере 8 мы это уже сделали: . Тогда по формуле Муавра: Не нужно считать на калькуляторе , а вот угол в большинстве случае следует упростить. Как упростить? Образно говоря, нужно избавиться от лишних оборотов, но так, чтобы значения синуса и косинуса не изменились. Один оборот составляет радиан или 360 градусов. Смотрим сколько у нас оборотов в аргументе : оборотов, в данном случае можно убавить один оборот: . Надеюсь всем понятно, что и – это один и тот же угол. Таким образом, окончательный ответ запишется так: Любители стандартов везде и во всём могут переписать ответ в виде: (т.е. убавить еще один оборот и получить значение аргумента в стандартном виде). Хотя – ни в коем случае не ошибка.
Пример 11 Дано комплексное число , найти . Полученный аргумент (угол) упростить, результат представить в алгебраической форме. Это пример для самостоятельного решения, полное решение и ответ в конце урока.
Отдельная разновидность задачи возведения в степень – это возведение в степень чисто мнимых чисел.
Пример 12 Возвести в степень комплексные числа , , Здесь тоже всё просто, главное, помнить знаменитое равенство. Если мнимая единица возводится в четную степень, то техника решения такова: Если мнимая единица возводится в нечетную степень, то «отщипываем» одно «и», получая четную степень: Если есть минус (или любой действительный коэффициент), то его необходимо предварительно отделить:
Пример 13 Возвести в степень комплексные числа , Это пример для самостоятельного решения.
Популярное: Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... ©2015-2020 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (1344)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |