Возведение комплексных чисел в степень — Мегаобучалка
Мегаобучалка Главная | О нас | Обратная связь

Возведение комплексных чисел в степень




 

Пример 9:

Возвести в квадрат комплексное число

Здесь можно пойти двумя путями, первый способ это переписать степень как произведение множителей и перемножить числа по правилу умножения многочленов.

Второй способ состоит в применение известной школьной формулы сокращенного умножения :

Для комплексного числа легко вывести свою формулу сокращенного умножения:
. Аналогичную формулу можно вывести для квадрата разности, а также для куба суммы и куба разности. Но эти формулы более актуальны для задач комплексного анализа, поэтому на данном уроке я воздержусь от подробных выкладок.

Что делать, если комплексное число нужно возвести, скажем, в 5-ую, 10-ую или 100-ую степень? В алгебраической форме проделать такой трюк практически невозможно, действительно, подумайте, как вы будете решать пример вроде ?

И здесь на помощь приходит тригонометрическая форма комплексного числа и так называемая формула Муавра: Если комплексное число представлено в тригонометрической форме , то при его возведении в натуральную степень n справедлива формула:

 

Пример 10

Дано комплексное число , найти .

Что нужно сделать? Сначала нужно представить данной число в тригонометрической форме. Внимательные читатели заметили, что в Примере 8 мы это уже сделали:

. Тогда по формуле Муавра:

Не нужно считать на калькуляторе , а вот угол в большинстве случае следует упростить. Как упростить? Образно говоря, нужно избавиться от лишних оборотов, но так, чтобы значения синуса и косинуса не изменились. Один оборот составляет радиан или 360 градусов. Смотрим сколько у нас оборотов в аргументе : оборотов, в данном случае можно убавить один оборот: . Надеюсь всем понятно, что и – это один и тот же угол.

Таким образом, окончательный ответ запишется так:

Любители стандартов везде и во всём могут переписать ответ в виде:

(т.е. убавить еще один оборот и получить значение аргумента в стандартном виде).

Хотя – ни в коем случае не ошибка.

 

Пример 11

Дано комплексное число , найти . Полученный аргумент (угол) упростить, результат представить в алгебраической форме.



Это пример для самостоятельного решения, полное решение и ответ в конце урока.

 

 

Отдельная разновидность задачи возведения в степень – это возведение в степень чисто мнимых чисел.

 

Пример 12

Возвести в степень комплексные числа , ,

Здесь тоже всё просто, главное, помнить знаменитое равенство.

Если мнимая единица возводится в четную степень, то техника решения такова:

Если мнимая единица возводится в нечетную степень, то «отщипываем» одно «и», получая четную степень:

Если есть минус (или любой действительный коэффициент), то его необходимо предварительно отделить:

 

Пример 13

Возвести в степень комплексные числа ,

Это пример для самостоятельного решения.

 

 





Читайте также:





Читайте также:
Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней...
Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы...
Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе...

©2015 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав.

Почему 3458 студентов выбрали МегаОбучалку...

Система поиска информации

Мобильная версия сайта

Удобная навигация

Нет шокирующей рекламы



(0.004 сек.)