Матричный метод решения системы линейных алгебраических уравнений. Формулы Крамера. Метод Гаусса
Рассмотрим систему, составленную из трех линейных алгебраических уравнений с тремя неизвестными.
Решением (2.1)называется система
- основная матрица системы (2.1)
- расширенная матрица (2.1)
система (2.1) может быть записана в матричном виде так: AX=D (6.1.15) X – неизвестная матрица-столбец. Введем вспомогательные определители:
Предполагая, что матрица A - невырожденная и умножая (2.5) слева и почленно на A-1, получим
Используя понятие равенства двух матриц, получим
Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие преобразования:
Пример 6. 1.2. Найти матрицу, обратную матрице Обратную матрицу находим по формуле Вычислим определитель матрицы по правилу треугольника: Определитель не равен нулю, следовательно, обратная матрица существует. Составляем матрицу из алгебраических дополнений (
Выполним проверку:
Получим: A-1×A=A×A-1=E. Следовательно, обратная матрица найдена верно. Ответ:
Пример 6.1.3. Решить систему линейных уравнений по формулам Крамера
Решение: Найдем главный определитель системы Так как число уравнений и число неизвестных системы между собой равны m=n=3 и определитель отличен от нуля, система имеет единственное решение. Найдем вспомогательные определители:
Неизвестные находим по формулам Крамера:
Ответ:
Пример 6.1.4.. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса
Решение. Метод Гаусса – это метод последовательного исключения неизвестных преобразованием данной системы линейных уравнений к эквивалентной. Преобразования уравнений системы заменяются преобразованием строк расширенной матрицы системы до приведения основной матрицы к треугольной или трапециевидной форме. Обнуление элементов выполняется элементарными преобразованиями матрицы(умножение строк на числа, отличные от нуля с последующим сложением).
Ответ:
Пример 6.1.5. Применить теорему Кронекера – Капели и найти все решения системы методом Гаусса
Решение. Однородная матрица всегда имеет тривиальное решение, в данном случае (0;0;0;0), поэтому нас интересуют другие решения системы. Применяем метод Гаусса:
Так как размерности основной и расширенной матриц системы 3x4 и 3x5 соответственно, ранги этих матриц не могут превышать числа 3. Попробуем посмотреть, есть ли для этих матриц минор третьего порядка, отличный от нуля. Составим его из первых двух и четвертого столбца:
Решением системы будет множество четверок чисел Например, (0;2;2;0), (0;-1;-1;0), Ответ: Замечание. Обратите внимание, что тривиальное решение тоже задается этим множеством.
Пример 6. 1.6. Даны координаты векторов
Решение. Если векторы
Отсюда вытекает решение задачи: найти координаты вектора Решаем методом Гаусса: Так как определитель треугольного вида равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали , видим, что он отличен от нуля. Следовательно, векторы Найдем координаты вектора b в этом базисе
Следовательно, Ответ:
Читайте также: Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... ![]() ©2015-2020 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (1966)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |