Интегрирование биноминального дифференциала

Интеграл от биноминального дифференциала, то есть интеграл вида ;

Где m,n,p – рациональные числа,

а, в – отличные от нуля постоянные (здесь “n” - любое рациональное число).

Этот интеграл выражается через элементарные функции в 3-х случаях:

1) р – целое число;

2) целое число;

3) целое число.

Эти случаи интегрируемости указаны Эйлером в 1768г. В 1853г. Чебышев доказал, что интеграл от биноминального дифференциала, за исключением этих трех случаев, не выражается через элементарные функции.

а)Если р – целое число, то рассматриваемый интеграл может быть вычислен посредством подстановки (т.е. )

Где - общий знаменатель дробей m и n.

Замечание. Вообще, если р – целое положительное число, то можно интегрировать непосредственно, обходясь без введения новой переменной. Для этого достаточно разложить бином в сумму по формуле Ньютона.

б) Пусть р – дробное число: , где “r” и “s” - взаимно простые целые числа.

Рассмотрим 2 частных случая:

1) - целое число.

Здесь применяем рационализированную подстановку .Отсюда , ; .

Но по условию целое число, а значит, и целое число; кроме того, r и s - целые числа, следовательно, r+s-1- целое число.

Таким образом, подынтегральная функция рационализировалась.

1) целое число.

Преобразуем подынтегральное выражение следующим образом:

Обозначим

Получившиеся выражение представляет собой снова биноминальный дифференциал (в котором только “в” и “а” поменялись местами).

Так как целое число, то по случаю 1) к этому интегралу можно применить рационализированную подстановку , которая здесь имеет вид , или .

Вывод. Таким образом, если

1) р – целое число, то подстановка

2) целое число, то подстановка

,где S – знаменатель дроби ;

3) целое число, то .

Пример6.6.57.

.

Где, - целое число.

Пример6.6.58.

.

Некоторые замечания об интегрировании функций. Примеры интегралов не выражающихся через элементарные функции

Мы закончили рассмотрение вопроса о нахождении неопределенных интегралов для функций, интегрируемых в конечном виде и вообще о технике интегрирования.

Для очень не многих видов функций удается установить соответствующие им методы интегрирования.

Но даже в том случае, когда интеграл от данной функции выражается в конечном виде через элементарные функции, для отыскания этого выражения не существует единого, удобного на практике приема.

Интегрирование чаще всего может быть выполнено не единственным способом. Поэтому необходимо пытаться найти такой прием, который, будучи иногда весьма искусственным, тем не менее, сравнительно быстро приводит к результату.

Следовательно, важно не только найти данный интеграл, но и то, чтобы вычислить его с минимальной затратой времени и труда.

Например 6.6.59.При вычислении интеграла совершенно нецелесообразно применять метод интегрирования рациональной дроби, проще применить метод подстановки: получим .

Имеются специальные справочники, в которых приведены наиболее распространенные неопределенные интегралы. Выше уже говорилось, что интегрирование не является действием, позволяющим всегда найти элементарную функцию, являющуюся первообразной от данной элементарной функции.

Для всякой неопределенной функции существует первообразная, но эта первообразная для некоторых функций не является элементарной функцией.

Другими словами, интеграл от некоторых элементарных функций может быть вообще неэлементарной функцией, соответствующие неопределенные интегралы называют «не берущимися», примерами их могут служить следующие:

и многие другие.

Каждый из этих интегралов представляет собой функцию, не выражающуюся в элементарных функциях.

Но такие интегралы определяют некоторые виды функций (отличных от элементарных), многие из которых имеют общие и важные применения в технике и естествознании.

Замечание. Со способами приближенных вычислений подобных интегралов познакомимся в разделе «Ряды».