Вычисление двойного интеграла
Случай прямоугольной области. Пусть функция z = f(x,y) задана в прямоугольнике . Символ называется повторным интегралом в прямоугольнике (Р) и его смысл выражается равенством: . Теорема. Если в прямоугольнике задана непрерывная функция z=f(x,y) и существует интеграл при , то существует повторный интеграл и справедливо равенство . Теорема. Пусть функция z = f(x,y) непрерывна в замкнутой квадрируемой области (D), ограниченной снизу и сверху соответственно кривыми и , а слева и справа прямыми x = a и x = b (a < b) и для существует интеграл , тогда существует повторный интеграл и справедливо равенство . Аналогично . Так как для функции независимые переменные равноправны, то при вычислении двойного интеграла путем сведения его к повторному порядок интегрирования выбирают таким образом, чтобы вычисления оказались наиболее рациональными. В связи с этим иногда для упрощения вычислений изменяют порядок интегрирования. Пример 1. Записать двойной интеграл в виде повторных интегралов (двумя способами), если область (D) ограничена прямыми x = 1, x = 2, y = 0, y = 4. Решение.
Пример 2. Записать двойной интеграл в виде повторных интегралов (двумя способами), если область (D) ограничена линиями x = 1, , . Решение.
по переменной y, пересечем область (D) лучом, параллельным оси Oy и сонаправленным с ней. Граница области, которую луч пересекает при входе в область, будет нижней границей этой области, а ее уравнение, решенное относительно y, служит для установления нижнего предела интегрирования по y (y=y1(x)). В нашем случае - нижний предел интегрирования по y. Граница области, которую луч пересекает, выходя из области, будет верхней границей этой области, а ее уравнение, решенное относительно y, служит для установления верхнего предела интегрирования по y (y=y2(x)). В нашем случае разрешая уравнение относительно y, получаем - верхний предел интегрирования по y. Таким образом, для каждого значения x из [0;1] переменная y принимает значения от до . Получим: .
Далее, решив уравнения кривых относительно переменной x, получим пределы внутреннего интегрирования: нижний предел для (D1): и нижний предел для (D2): , верхний же предел для обеих областей будет x = 1. В итоге получим: .то постоянные пределы взять по переменной нтегрирования по удет верхней границ Пример 3. Изменить порядок интегрирования в интеграле . Решение. Восстановим область интегрирования (D) (рис.5). Рассмотрим первый интеграл. Пределы интегрирования указывают уравнения кривых, дугами которых ограничена область интегрирования (D1): y = –2, y = –1, x = 0, . Последнее уравнение преобразуется к виду – квадратичная парабола, вершина которой сдвинута на 2 единицы вниз.
в данном интеграле, т.е. внутреннее интегрирование будем выполнять по переменной y, а внешнее – по переменной x. Для установления пределов интегрирования по переменной y проведем через область (D) луч параллельно оси Oy в направлении этой оси. Видим, что точка входа в область (D) лежит на параболе , а точка выхода – на параболе . Эти пределы являются нижним и верхним пределами интегрирования по переменной y. Так как для области (D) , то числа –1 и 0 будут пределами интегрирования по переменной x. В итоге получим: . Пример 4. Изменить порядок интегрирования в интеграле . Решение.
Так как во внутреннем интеграле нижний предел содержится со знаком «минус», следует взять нижнюю полуокружность. Рассмотрим второй интеграл. Область (D2) ограничена кривыми, уравнения которых: . Последнее уравнение преобразуется к виду - окружность с центром в точке (0, -2) и радиусом, равным 2. Так как во внутреннем интеграле нижний предел содержится со знаком «плюс», следует взять верхнюю полуокружность. Приступаем к изменению порядка интегрирования в данном интеграле, т.е. внутреннее интегрирование будем выполнять по переменной x, а внешнее – по переменной y. Для установления пределов интегрирования по переменной x проведем через область (D) луч параллельно оси Ox в направлении этой оси. Видим, что точка входа в область (D) лежит на окружности , а точка выхода – на окружности . Выражаем из этих уравнений переменную x: . Из рис. 6 видно, что область (D) ограничивают левые полуокружности, следовательно берем значение x со знаком «минус». Получаем - нижний и верхний пределы интегрирования по переменной x. Так как для области (D) , то числа -1 и 0 будут пределами интегрирования по переменной y. В итоге получим: . Пример 5. Вычислить двойной интеграл , где область (D) ограничена линиями . Решение.
. Ответ. . Замечание. Если взять постоянные пределы по переменной y, то данный двойной интеграл будет представлен в виде суммы двух повторных интегралов, в связи с чем его вычисление усложняется.
Популярное: Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (737)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |