Криволинейные интегралы первого типа

Рис. 15

Пусть в некоторой области D дана спрямляемая, гладкая кривая с началом в точке A и концом в точке B (рис. 15) и вдоль этой кривой определена функция z = f(x,y), т.е. каждой точке М кривой поставлено в соответствие определенное значение функции f(M). Разобьем кривую L произвольным образом на n частей точками .

На каждой из частичных дуг , длины которых обозначим , выберем также произвольным образом по одной точке и вычислим значение функции в каждой из этих точек f( )=f(x_k,y_k). Составим сумму , которая называется интегральной суммой для функции f(x,y) вдоль кривой L. Обозначим наибольшую из длин частичных дуг через λ: .

Определение.

Если существует предел интегральных сумм при , который не зависит ни от способа разбиения кривой L на частичные дуги, ни от выбора точек , то он называется криволинейным интегралом первого типа от функции f(x,y) по кривой L и обозначается:

.

Иначе этот интеграл называют криволинейным интегралом по длине дуги.

Замечания.

1. Величина криволинейного интеграла первого типа не зависит от направления интегрирования, т.е.

.

1. Если дугу АВ разбить точкой С на две дуги АС и ВС, то

.

3. Геометрический смысл: криволинейный интеграл при численно равен площади участка цилиндрической поверхности с образующей, параллельной оси Oz. Снизу этот участок ограничен контуром интегрирования (L), а сверху – кривой, изображающей подынтегральную функцию f(x,y).

Вычисление криволинейных интегралов первого типа.

Криволинейный интеграл первого типа можно преобразовать к обыкновенному определенному интегралу. Пусть f(x,y) непрерывна вдоль кривой (L).

1. Если кривая (L) – график непрерывно дифференцируемой функции y=g(x) на сегменте [a,b], где a<b, то

(*)

1. Если кусочно-гладкая кривая L задана параметрически , то

(**)

1. Если кривая (L) в полярной системе координат задана уравнением , а функция имеет непрерывную производную на отрезке , то

(***)

Пример 12. Вычислить криволинейный интеграл , где (L) - отрезок прямой , соединяющий точки (3, 1) и (0, 4).

Решение.

Находим дифференциал длины дуги:

, .

Используя формулу (*), получаем

.

Ответ. .

Пример 13. Вычислить криволинейный интеграл , где (L) – арка

Рис. 16

циклоиды , (рис.16). Решение. Находим . Тогда

.

Используя формулу (**), получаем:

.

Ответ. .

Пример 14. Вычислить , где (L) – линия, заданная уравнением

Решение.

Рис. 17

Переходим к полярным координатам . Переведем подынтегральную функцию в полярные координаты: . Уравнение линии преобразуется к виду

,

.

Неравенство выполняется при . Строим кривую с учетом условия (рис. 17). Находим производную . Вычисляем криволинейный интеграл, используя формулу (***):

.

Ответ. .